(1) 三角形ABCの外心をOとする。線分OA, OB, OCの垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点をP、$l_2$と$l_3$の交点をQ、$l_3$と$l_1$の交点をRとする。Oが三角形PQRの内心であることを示せ。 (2) AB = 6, AC = 4, BC = 5である三角形ABCの内心をIとする。また、直線AIと辺BCの交点をDとする。BD : DCとAI : IDをそれぞれ求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCの外心をOとする。線分OA, OB, OCの垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点をP、$l_2$と$l_3$の交点をQ、$l_3$と$l_1$の交点をRとする。Oが三角形PQRの内心であることを示せ。

(2) AB = 6, AC = 4, BC = 5である三角形ABCの内心をIとする。また、直線AIと辺BCの交点をDとする。BD : DCとAI : IDをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* まず、点P, Q, Rがそれぞれ線分OA, OB, OCの垂直二等分線上の点であることから、OP = AP, OQ = BQ, OR = CRが成り立つ。

* 次に、三角形OAP, OBQ, OCRがそれぞれ二等辺三角形であることに注目する。

* 角PAO = 角APO

* 角QBO = 角BQO

* 角RCO = 角CRO

* 垂直二等分線の性質から、角OPAは線分ABと垂直な線との角度を二等分する。同様に、角OQBは線分BCと垂直な線との角度を二等分し、角ORCは線分CAと垂直な線との角度を二等分する。

* 三角形PQRにおいて、各辺は線分OA, OB, OCの垂直二等分線であるため、点Oは各頂点からの距離が等しい位置にある。つまり、OP = OQ = ORとなる。

* OP = OQ = ORであることから、点Oは三角形PQRの内心であるといえる。

(2)

* まず、角の二等分線の性質を利用してBD : DCを求める。角の二等分線は対辺を隣辺の比に内分するので、

$BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2$

* 次に、BC = 5より、BDとDCの実際の長さを求める。

$BD = \frac{3}{3+2} \times BC = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

$DC = \frac{2}{3+2} \times BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

* 次に、AI : IDを求めるために、角の二等分線の定理を再度利用する。

三角形ABDにおいて、BIは角ABDの二等分線である。したがって、

$AI:ID = AB:BD = 6:3 = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) Oは三角形PQRの内心である。

(2) BD : DC = 3 : 2

AI : ID = 2 : 1