a) 1次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\operatorname{div} \mathbf{v} = 2$ となっている。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。 b) $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) = 0$ を証明せよ。

1. 問題の内容

a) 1次元速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\operatorname{div} \mathbf{v} = 2$ となっている。この場所における速度ベクトルの変化を説明せよ。

b) $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) = 0$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

a)

1次元の速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x(x) \mathbf{i}$ における発散は、

$$$$

\operatorname{div} \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}

$$$$

で与えられます。問題文より、ある場所で $\operatorname{div} \mathbf{v} = 2$ となっているので、

$$$$

\frac{\partial v_x}{\partial x} = 2

$$$$

です。これは、$x$ 軸方向に速度 $v_x$ が変化しており、その変化率が2であることを意味します。つまり、$x$ が増加すると、$v_x$ はその2倍の割合で増加します。

b)

$\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) = 0$ を証明します。ベクトル $\mathbf{A}$ を $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$ とすると、回転 $\operatorname{rot} \mathbf{A}$ は、

$$$$

\operatorname{rot} \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)

$$$$

で与えられます。この回転の発散 $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A})$ は、

\begin{align*}

\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) &= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \\

&= \frac{\partial^2 A_z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 A_y}{\partial x \partial z} + \frac{\partial^2 A_x}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 A_z}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 A_y}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 A_x}{\partial z \partial y}

\end{align*}

偏微分の順序交換が可能とすると（通常は可能です）、

$$$$

\frac{\partial^2 A_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 A_z}{\partial y \partial x}, \quad

\frac{\partial^2 A_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 A_y}{\partial z \partial x}, \quad

\frac{\partial^2 A_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 A_x}{\partial z \partial y}

$$$$

であるから、

$$$$

\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) = 0

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が証明されます。

3. 最終的な答え

a) その場所では、x軸方向に位置が増加すると、速度 $v_x$ がその2倍の割合で増加する。

b) $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{A}) = 0$