(1) 三角形$ABC$の外心を$O$とする。線分$OA, OB, OC$の垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点を$P$, $l_2$と$l_3$の交点を$Q$, $l_3$と$l_1$の交点を$R$とする。$O$が三角形$PQR$の内心であることを示せ。 (2) $AB=6, AC=4, BC=5$である三角形$ABC$の内心を$I$とする。また、直線$AI$と辺$BC$の交点を$D$とする。$BD:DC$, $AI:ID$をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

(1) 三角形$ABC$の外心を$O$とする。線分$OA, OB, OC$の垂直二等分線をそれぞれ$l_1, l_2, l_3$とし、$l_1$と$l_2$の交点を$P$, $l_2$と$l_3$の交点を$Q$, $l_3$と$l_1$の交点を$R$とする。$O$が三角形$PQR$の内心であることを示せ。

(2) $AB=6, AC=4, BC=5$である三角形$ABC$の内心を$I$とする。また、直線$AI$と辺$BC$の交点を$D$とする。$BD:DC$, $AI:ID$をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$l_1, l_2, l_3$がそれぞれ線分$OA, OB, OC$の垂直二等分線であることから、

$l_1$は線分$OA$上の任意の点$X$に対して、$OX=AX$を満たす点の集合である。同様に、$l_2$は線分$OB$上の任意の点$Y$に対して、$OY=BY$を満たす点の集合、$l_3$は線分$OC$上の任意の点$Z$に対して、$OZ=CZ$を満たす点の集合である。

外心$O$は三角形$ABC$の外接円の中心であるので、$OA=OB=OC$である。

点$P$は$l_1$と$l_2$の交点なので、$PA=PO$, $PB=PO$が成り立つ。よって、$PA=PB$であるので、点$P$は線分$AB$の垂直二等分線上にある。同様に、$Q$は線分$BC$の垂直二等分線上、$R$は線分$CA$の垂直二等分線上にある。

ここで、$O$から$PQ, QR, RP$に下ろした垂線の足をそれぞれ$S, T, U$とすると、

$OS \perp PQ$, $OT \perp QR$, $OU \perp RP$である。

$l_1 \perp OA$, $l_2 \perp OB$, $l_3 \perp OC$であるので、$\angle OPA = \angle OPB$, $\angle OQB = \angle OQC$, $\angle ORC = \angle ORA$である。

したがって、$OP$は$\angle APB$の二等分線、$OQ$は$\angle BQC$の二等分線、$OR$は$\angle CRA$の二等分線である。よって、$O$は三角形$PQR$の内心である。

(2)

角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC = 6:4 = 3:2$

$BD = \frac{3}{3+2}BC = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

$DC = \frac{2}{3+2}BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

三角形$ABC$において、角$A$の二等分線と辺$BC$の交点が$D$なので、$AD$は角$A$の二等分線である。

ここで、角の二等分線の長さの公式を用いる。

$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC = 6 \times 4 - 3 \times 2 = 24 - 6 = 18$

$AD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

次に、$AI:ID$を求める。内心$I$は角の二等分線$AD$上にあるので、角の二等分線の性質より、

$AI:ID = (AB+AC):BC = (6+4):5 = 10:5 = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $O$は三角形$PQR$の内心である。

(2) $BD:DC = 3:2$, $AI:ID = 2:1$