1次元の速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\mathrm{div} \ \mathbf{v} = 2$ となっている。この場所における速度ベクトルの変化を説明する。

1. 問題の内容

1次元の速度ベクトル場 $\mathbf{v} = v_x \mathbf{i}$ において、ある場所で $\mathrm{div} \ \mathbf{v} = 2$ となっている。この場所における速度ベクトルの変化を説明する。

2. 解き方の手順

発散の定義から考えます。1次元の場合、発散は速度の $x$ 成分の $x$ に関する偏微分で与えられます。つまり、

$\mathrm{div} \ \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}$

問題文では、ある場所で $\mathrm{div} \ \mathbf{v} = 2$ となっています。したがって、

$\frac{\partial v_x}{\partial x} = 2$

この式は、$x$ 方向に微小距離だけ進んだとき、速度の $x$ 成分 $v_x$ がどれだけ変化するかを表しています。$\frac{\partial v_x}{\partial x} = 2$ であるということは、$x$ が増加すると、$v_x$ も増加することを意味します。具体的には、$x$ が 1 だけ増加すると、$v_x$ は 2 だけ増加します。

3. 最終的な答え

$\mathrm{div} \ \mathbf{v} = 2$ は、その場所で速度ベクトル $\mathbf{v}$ の $x$ 成分 $v_x$ が、$x$ 方向に増加していることを意味します。つまり、$x$ が増加する方向に進むと、速度の $x$ 成分は増加します。 具体的には、$x$ が微小量 $\Delta x$ だけ増加すると、$v_x$ は $2 \Delta x$ だけ増加します。