実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = p$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$, $\alpha\beta\gamma = r$ を満たすとき、次の問いに答える。 (1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。 (2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて1であることを示す。

1. 問題の内容

実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が

$\alpha + \beta + \gamma = p$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$, $\alpha\beta\gamma = r$

を満たすとき、次の問いに答える。

(1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。

(2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて1であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha, \beta, \gamma$ を解とする3次方程式を考える。解と係数の関係より、

$x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$

つまり、

$x^3 - px^2 + qx - r = 0$

条件 $p=2$, $q=r+1$ を代入すると、

$x^3 - 2x^2 + (r+1)x - r = 0$

$x^3 - 2x^2 + x + rx - r = 0$

$x(x^2 - 2x + 1) + r(x-1) = 0$

$x(x-1)^2 + r(x-1) = 0$

$(x-1)[x(x-1) + r] = 0$

$(x-1)(x^2 - x + r) = 0$

したがって、$x=1$ はこの方程式の解である。つまり、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1である。

(2) $\alpha + \beta + \gamma = 3$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ である。

$(\alpha - 1)^2 + (\beta - 1)^2 + (\gamma - 1)^2 = \alpha^2 - 2\alpha + 1 + \beta^2 - 2\beta + 1 + \gamma^2 - 2\gamma + 1$

$= (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3$

$= (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(3) + 3$

$= \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 3$

ここで、

$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$3^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(3)$

$9 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 6$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3$

よって、

$(\alpha - 1)^2 + (\beta - 1)^2 + (\gamma - 1)^2 = 3 - 3 = 0$

$\alpha, \beta, \gamma$ は実数なので、$(\alpha - 1)^2 \ge 0$, $(\beta - 1)^2 \ge 0$, $(\gamma - 1)^2 \ge 0$。

したがって、$\alpha - 1 = 0$, $\beta - 1 = 0$, $\gamma - 1 = 0$ となり、$\alpha = 1$, $\beta = 1$, $\gamma = 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1である。

(2) $\alpha = 1$, $\beta = 1$, $\gamma = 1$ である。