放物線 $y=ax^2$ (①), 直線 $y=4$ (②), 直線 $y=1$ (③) が与えられています。①と②の交点の$x$座標が小さい方をA, 大きい方をBとし、①と③の交点のうち$x$座標が負の点をCとします。 (1) AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求め、さらに点Cの座標と直線BCの式を求めます。 (2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が②, ③, 線分BCとそれぞれP, Q, Rで交わるとき、BP:CQ=1:2ならば、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=ax^2$ (①), 直線 $y=4$ (②), 直線 $y=1$ (③) が与えられています。①と②の交点の$x$座標が小さい方をA, 大きい方をBとし、①と③の交点のうち$x$座標が負の点をCとします。

(1) AB=8のとき、点Bの座標と$a$の値を求め、さらに点Cの座標と直線BCの式を求めます。

(2) (1)のとき、傾きが正の原点を通る直線④が②, ③, 線分BCとそれぞれP, Q, Rで交わるとき、BP:CQ=1:2ならば、点Rの座標と三角形BPRの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Bは①と②の交点なので、$y=ax^2$と$y=4$を連立して、$ax^2=4$、$x^2 = 4/a$。

よって、$x = \pm 2/\sqrt{a}$ となります。

点A, Bのうち、$x$座標が大きい方がBなので、点Bの$x$座標は$2/\sqrt{a}$です。

点Aの$x$座標は$-2/\sqrt{a}$です。

$AB = 8$ なので、$2/\sqrt{a} - (-2/\sqrt{a}) = 8$

$4/\sqrt{a} = 8$

$\sqrt{a} = 4/8 = 1/2$

$a = 1/4$

したがって、点Bの座標は$x = 2/\sqrt{1/4} = 2/(1/2) = 4$ より、(4, 4)です。

点Cは①と③の交点なので、$y=(1/4)x^2$と$y=1$を連立して、$(1/4)x^2=1$、$x^2 = 4$。

よって、$x = \pm 2$ となります。点Cの$x$座標は負なので、点Cの座標は(-2, 1)です。

直線BCの式を$y=mx+n$とすると、B(4, 4), C(-2, 1)を通るので、

$4 = 4m + n$

$1 = -2m + n$

これを解くと、$3 = 6m$、$m = 1/2$。

$n = 1 + 2m = 1 + 2(1/2) = 2$

したがって、直線BCの式は$y=(1/2)x+2$です。

(2)

直線④を$y=kx$ (k>0)とします。

点Pは直線④と直線②の交点なので、$kx = 4$、$x=4/k$、P(4/k, 4)

点Qは直線④と直線③の交点なので、$kx = 1$、$x=1/k$、Q(1/k, 1)

点Rは直線④と直線BCの交点なので、$kx = (1/2)x+2$、$2kx = x+4$、$(2k-1)x = 4$、$x=4/(2k-1)$、R(4/(2k-1), 4k/(2k-1))

BP:CQ = 1:2 なので、

B(4, 4), P(4/k, 4), C(-2, 1), Q(1/k, 1) より、$BP = |4 - 4/k|$、$CQ = |-2 - 1/k|$

$|4 - 4/k| : |-2 - 1/k| = 1:2$

$2|4 - 4/k| = |-2 - 1/k|$

$2|4k - 4|/|k| = |2k + 1|/|k|$

$2|4k - 4| = |2k + 1|$

$8|k - 1| = |2k + 1|$

(i) $k \geq 1$のとき

$8(k - 1) = 2k + 1$

$8k - 8 = 2k + 1$

$6k = 9$

$k = 3/2$

(ii) $-1/2 < k < 1$のとき

$8(1 - k) = 2k + 1$

$8 - 8k = 2k + 1$

$7 = 10k$

$k = 7/10$

(iii) $k \leq -1/2$のとき

$8(1 - k) = -(2k + 1)$

$8 - 8k = -2k - 1$

$9 = 6k$

$k = 3/2$ これは不適。

したがって、$k = 3/2$または$k=7/10$

$k=7/10$のとき，$2k-1 = 4/10 >0$、$k=3/2$のとき，$2k-1 = 2>0$なので、$R(4/(2k-1), 4k/(2k-1))$は両方とも条件を満たします。

$k=3/2$のとき、$2k-1 = 2$なので、$R(2, 3)$

$k=7/10$のとき、$2k-1 = 4/10$なので、$R(10, 7)$

ここでグラフを見ると、$k=3/2$のとき、$R(2,3)$が適切です。

点Rの座標は(2, 3)です。

B(4, 4), P(4/(3/2), 4) = (8/3, 4)

三角形BPRの面積 = $(1/2)| (4-2)(4-4k/(2k-1)) - (4-4k/(2k-1))(8/3-2) |$

=$| (1-4/(2k-1)) | * (4-8/3) = (4/3)* | 1 -4/(2k-1) |$

k=3/2 より、R(2,3)

$BP = 4-8/3=4/3$より、$P(8/3, 4)$, $B(4, 4)$. よってPとBは高さが同じ

BR = $\sqrt{ (4-2)^2+(4-3)^2 } = \sqrt{5}$

PR = $\sqrt{ (8/3-2)^2+(4-3)^2 } = \sqrt{4/9 + 1} = \sqrt{13/9} = (\sqrt{13})/3$

面積=(1/2) * 底辺 * 高さ = (1/2) * (4-8/3) * (4-3) = (1/2) * (4/3) * 1 = 2/3

3. 最終的な答え

(1) 点Bの座標は(4, 4)、aの値は1/4、点Cの座標は(-2, 1)、直線BCの式は$y=(1/2)x+2$

(2) 点Rの座標は(2, 3)、三角形BPRの面積は2/3