複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点となる条件は、$z \ne z^3$, $z \ne z^5$, $z^3 \ne z^5$が成り立つことである。

$z \ne z^3$より、$z(1 - z^2) \ne 0$。したがって、$z \ne 0, z \ne \pm 1$。

$z \ne z^5$より、$z(1 - z^4) \ne 0$。したがって、$z \ne 0, z \ne \pm 1, z \ne \pm i$。

$z^3 \ne z^5$より、$z^3(1 - z^2) \ne 0$。したがって、$z \ne 0, z \ne \pm 1$。

以上より、$z \ne 0, \pm 1, \pm i$

(2) 3点A, B, Cが同一直線上にあるための条件は、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z}$が実数であることである。

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{z^2 - 1}{z^4 - 1} = \frac{z^2 - 1}{(z^2 - 1)(z^2 + 1)} = \frac{1}{z^2 + 1}$が実数である。

$\frac{1}{z^2 + 1} = \overline{\frac{1}{z^2 + 1}} = \frac{1}{\bar{z}^2 + 1}$より、$z^2 + 1 = \bar{z}^2 + 1$。よって、$z^2 = \bar{z}^2$。

$(z - \bar{z})(z + \bar{z}) = 0$。したがって、$z = \bar{z}$または$z = -\bar{z}$。

$z = \bar{z}$のとき、$z$は実数である。よって、$z \in \mathbb{R}$。ただし、$z \ne 0, \pm 1$。

$z = -\bar{z}$のとき、$z$は純虚数である。よって、$z = ki$($k \in \mathbb{R}$)。ただし、$z \ne \pm i$。

また、$z=0$のとき、A,B,Cは全て原点になるので、条件に反する。

実数の時、$\frac{1}{z^2+1}$は実数。

純虚数の時$z=ki$とすると$\frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{-k^2+1}$は実数。

従って，$z$は実数または純虚数で、$z \ne 0, \pm 1, \pm i$を満たす。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2 = \omega$または$z^2 = \omega^2$となる。ここで、$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$である。

従って、$z^2 = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$である。

$z^2 = \omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$のとき、A, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるためには、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$となる。

$z^2 = \omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$のとき、$\frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} + 1} = \frac{1}{\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{1 + i\sqrt{3}} = \frac{2(1 - i\sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \ne \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$z^2 = \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$のとき、$\frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} + 1} = \frac{1}{\frac{1 - i\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{1 - i\sqrt{3}} = \frac{2(1 + i\sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

従って、$z^2 = \omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$のとき、A, B, Cがこの順に反時計回りの位置にある。

$z^2 = \omega^2 = e^{-i \frac{2\pi}{3}}$なので、$z = e^{-i \frac{\pi}{3}}$または$z = e^{i \frac{2\pi}{3}}$となる。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$\frac{z^5 - z}{z^5 - z^3}$が純虚数になる。

$\frac{z^5 - z}{z^5 - z^3} = \frac{z^4 - 1}{z^4 - z^2} = \frac{z^4 - 1}{z^2(z^2 - 1)} = \frac{(z^2 - 1)(z^2 + 1)}{z^2(z^2 - 1)} = \frac{z^2 + 1}{z^2} = 1 + \frac{1}{z^2}$が純虚数になる。

$1 + \frac{1}{z^2} = ki$ ($k \in \mathbb{R}$) より、$\frac{1}{z^2} = ki - 1$。したがって、$z^2 = \frac{1}{ki - 1} = \frac{-1 - ki}{k^2 + 1}$。

$|z^2|^2 = |z|^4 = \frac{1 + k^2}{(k^2 + 1)^2} = \frac{1}{k^2 + 1} < 1$。

よって、$|z|^4 < 1$より、$|z| < 1$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $z \ne 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z$は実数または純虚数で、$z \ne 0, \pm 1, \pm i$を満たす。

(3) $z^2 = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$、$z = e^{i \frac{2\pi}{3}}, e^{-i \frac{\pi}{3}}$のときA, B, Cはこの順に反時計回り。

(4) 証明終わり