図のような $3 \times 3$ のマス目にそれぞれ異なる自然数が入り、各行、各列、各対角線の3つの数の積がすべて等しくなっています。このとき、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

図のような $3 \times 3$ のマス目にそれぞれ異なる自然数が入り、各行、各列、各対角線の3つの数の積がすべて等しくなっています。このとき、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、全ての行、列、対角線の積が等しい値を $P$ とします。

左上のマスから順に、$a, 4, 16, b, c, x, d, 2, e$ とします。

問題文より、すべてのマスには異なる自然数が入ります。

以下の式が成り立ちます。

$4 \times c \times 2 = P$ より、 $8c = P$

$16 \times x \times e = P$ より、$16xe = P$

$a \times 4 \times 16 = P$ より、$64a = P$

$d \times 2 \times e = P$

$8c = 64a$ より、$c = 8a$

$d \times 2 \times e = 64a$ より、$de = 32a$

対角線に着目すると $a \times c \times e = P$ より、$ace = P$

$ace = 64a$ なので $ce = 64$ となる。

$c = 8a$ を代入して、$8ae = 64$

$ae = 8$

$a$ と $e$ は自然数なので、ありうる組み合わせは

$(a,e) = (1,8), (2,4), (4,2), (8,1)$

もし $(a,e) = (2,4)$ とすると $c = 8a = 16$ となり、$16$ が重複するので不可。

同様に $(a,e) = (4,2)$とすると、$c = 8a = 32$

また、$d \times 2 \times e = 64a$ なので、$de = 32a$

$d \times 2 = 32 \times a$

$d = 16 a$

$a = 1$ の場合、$e = 8$, $c = 8$, $P = 64$

$d = 16$, $de = 16 \times 8 = 128 \neq 32$

$a = 1$, $e = 8$, $c = 8a = 8$ より、$8$が重複して不可能

$a = 2$ の場合、$e = 4$ とすると、$c = 16$ となり、$16$が重複して不可能

$a = 4$ の場合、$e = 2$ とすると、$c = 32$

$P = 64a = 64 * 4 = 256$

$4 \times c \times 2 = 256$ なので $c = 32$

$16 \times x \times e = 256$ なので、$32x = 256$

$x = 8$

$a=4, b=?, c=32$

$d=?, 2, e=2$

$4, ?, 16$

$4 * ? * 16 = 256$

$? = 4$, ダメ。

$a = 1, e = 8, c = 8$は条件を満たさないのであり得ない

$a = 2, e = 4, c = 16$は条件を満たさないのであり得ない。

$ae = 8$ という条件から、考えられるマス目の値は、$1,2,4,8,16,32,64,...$ など。

$4, 16, 2, x$以外の数字は、$1, 8, 32$などが考えられる。

行、列、対角線の積がすべて同じということは、$P=4cx=16xe=2ex=4*16*$ある数$=2*x*$ある数$など。

問題文より、$x$は自然数である。選択肢を見ると、$5,6,7,8,9$。

x=8のとき

$\sqrt[3]{4*16*2*x}$

$P = 512$

$d=16 * x *e$

$4, ?, 16$

3. 最終的な答え

$x = 6$

答え: (2)