以下の式の値を求める問題です。 $\frac{\frac{1}{2}log_3{32} + log_3{\sqrt{3}}}{\log_3{2}}$

1. 問題の内容

以下の式の値を求める問題です。

$\frac{\frac{1}{2}log_3{32} + log_3{\sqrt{3}}}{\log_3{2}}$

2. 解き方の手順

まず、分子を整理します。

$\frac{1}{2}log_3{32} = log_3{\sqrt{32}} = log_3{\sqrt{2^5}} = log_3{2^{\frac{5}{2}}}$

$log_3{\sqrt{3}} = log_3{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

したがって、分子は以下のようになります。

$log_3{2^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{2} = log_3{2^{\frac{5}{2}}} + log_3{3^{\frac{1}{2}}} = log_3{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}$

次に、式全体を書き換えます。

$\frac{log_3{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}}{log_3{2}}$

対数の底の変換公式を用いて、底を2に変換します。

$log_3{x} = \frac{log_2{x}}{log_2{3}}$

したがって、

$\frac{log_3{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}}{log_3{2}} = \frac{\frac{log_2{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}}{log_2{3}}}{\frac{log_2{2}}{log_2{3}}} = \frac{log_2{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}}{log_2{2}} = log_2{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}$

$log_2{(2^{\frac{5}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}})} = log_2{2^{\frac{5}{2}}} + log_2{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}log_2{3}$

問題文の形式に合わせるため、元の式を以下のように変形します。

$\frac{\frac{1}{2}log_3{32} + log_3{\sqrt{3}}}{\log_3{2}} = \frac{\frac{5}{2}log_3{2} + \frac{1}{2}}{\log_3{2}} = \frac{\frac{5}{2}\log_3{2}}{\log_3{2}} + \frac{\frac{1}{2}}{\log_3{2}} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}log_2{3}$

$\frac{\frac{1}{2}log_3{32} + log_3{\sqrt{3}}}{\log_3{2}} = \frac{log_3{2^{\frac{5}{2}}\sqrt{3}}}{log_3{2}} = log_2(2^{\frac{5}{2}}\sqrt{3}) = log_2(2^{\frac{5}{2}}) + log_2(\sqrt{3}) = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}log_2{3}$

ここで、問題文の形式から逆算すると、$\frac{\frac{5}{2}log_3 2 + \frac{1}{2}}{log_3 2} = \frac{\frac{5}{2}log_3 2 + \frac{1}{2}}{log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}log_2 3 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} * \frac{log_3 3}{log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} * \frac{1}{log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2log_3 2}$

すると、$\frac{5}{2} = \frac{5log_3 2}{2log_3 2}$ なので

$\frac{\frac{5log_3 2}{2} + \frac{1}{2}}{log_3 2} = \frac{\frac{5log_3 2 + 1}{2}}{log_3 2} = \frac{5log_3 2 + 1}{2log_3 2}$

さらに、問題の形式に近づけるため、分子を$log_3$でまとめる

$5log_3 2 + 1 = log_3 (2^5) + log_3 3 = log_3 (32*3) = log_3 (96)$

$\frac{log_3 96}{2log_3 2} = \frac{log_3 96}{log_3 4} = log_4 96$

ここで$96 = 4 * 24$なので

$log_4 96 = log_4 (4 * 24) = log_4 4 + log_4 24 = 1 + log_4 24 = 1 + log_4 (4 * 6) = 2 + log_4 6$

元に戻って$\frac{log_3 (32\sqrt3)}{log_3 2} = \frac{log_3 (2^5 * 3^\frac{1}{2})}{log_3 2} = \frac{5log_3 2 + \frac{1}{2}}{log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2log_3 2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}log_2 3$.

$\frac{5}{2} = \frac{5log_3 2}{2 log_3 2}$.よって、

$\frac{\frac{5}{2}log_3 2 + \frac{1}{2} }{log_3 2} = \frac{1}{log_3 2} * \frac{5log_3 2 + 1}{2} = \frac{5log_3 2 + 1}{2log_3 2}$.

$5log_3 2 + 1 = log_3 (2^5) + log_3 3 = log_3 32 + log_3 3 = log_3 96$.

$2log_3 2 = log_3 4$.

$\frac{log_3 96}{log_3 4} = log_4 96 = log_4 6*4*4 = 2+log_4 6$

3. 最終的な答え

ケ=5, ク=1