与えられた方程式を解く問題です。具体的には、以下の３つの方程式を解きます。 (1) $3^{\frac{x}{2}} - (\sqrt{27})^x = 0$ (2) $\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$ (3) $3^x = 2^{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解く問題です。具体的には、以下の３つの方程式を解きます。

(1) $3^{\frac{x}{2}} - (\sqrt{27})^x = 0$

(2) $\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$

(3) $3^x = 2^{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $3^{\frac{x}{2}} - (\sqrt{27})^x = 0$

まず、式を整理します。$\sqrt{27} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ なので、

$3^{\frac{x}{2}} - (3^{\frac{3}{2}})^x = 0$

$3^{\frac{x}{2}} - 3^{\frac{3x}{2}} = 0$

$3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{3x}{2}}$

指数が等しいので、

$\frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$

$x = 3x$

$2x = 0$

$x = 0$

(2) $\log_2(x-3) - \log_4(2x-6) = 1$

まず、底を2に統一します。$\log_4(2x-6) = \frac{\log_2(2x-6)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(2x-6)}{2}$ なので、

$\log_2(x-3) - \frac{\log_2(2x-6)}{2} = 1$

$2\log_2(x-3) - \log_2(2x-6) = 2$

$\log_2(x-3)^2 - \log_2(2x-6) = 2$

$\log_2 \frac{(x-3)^2}{2x-6} = 2$

$\log_2 \frac{(x-3)^2}{2(x-3)} = 2$

ここで、$x-3 > 0$ すなわち $x>3$ が必要です。すると、

$\log_2 \frac{x-3}{2} = 2$

$\frac{x-3}{2} = 2^2 = 4$

$x-3 = 8$

$x = 11$

$x=11$ は $x > 3$ を満たすので解です。

(3) $3^x = 2^{x+2}$

両辺の対数を取ります。底は任意ですが、ここでは常用対数（底が10）をとります。

$\log 3^x = \log 2^{x+2}$

$x \log 3 = (x+2) \log 2$

$x \log 3 = x \log 2 + 2 \log 2$

$x (\log 3 - \log 2) = 2 \log 2$

$x = \frac{2 \log 2}{\log 3 - \log 2} = \frac{2 \log 2}{\log \frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$

(2) $x = 11$

(3) $x = \frac{2 \log 2}{\log 3 - \log 2}$