SENSEI AI
About App

P地点からQ地点まで60kmの距離を移動するA, B, Cの3人がいます。AとBはオートバイで出発し、途中のR地点でBは降りて歩き、Aはオートバイで引き返します。Aは引き返して30kmの地点でCと出会い、Cを乗せてQ地点に向かいます。BがQ地点に到着したのは、AとCよりも30分後でした。歩く速度は時速5km、2人乗り時のオートバイの速度は時速30kmです。Aが1人でオートバイに乗っていた時の速度を求めます。

応用数学速度距離時間連立方程式数式処理
2025/6/4

1. 問題の内容

P地点からQ地点まで60kmの距離を移動するA, B, Cの3人がいます。AとBはオートバイで出発し、途中のR地点でBは降りて歩き、Aはオートバイで引き返します。Aは引き返して30kmの地点でCと出会い、Cを乗せてQ地点に向かいます。BがQ地点に到着したのは、AとCよりも30分後でした。歩く速度は時速5km、2人乗り時のオートバイの速度は時速30kmです。Aが1人でオートバイに乗っていた時の速度を求めます。

2. 解き方の手順

まず、各変数を定義します。
* vv: Aが1人でオートバイに乗っていた時の速度 (km/h)
* t1t_1: PからRまでAとBがオートバイに乗っていた時間 (時間)
* t2t_2: RからCと出会うまでAが1人でオートバイに乗っていた時間 (時間)
* t3t_3: Cと出会ってからQに着くまでAとCがオートバイに乗っていた時間 (時間)
* t4t_4: RからQまでBが歩いた時間 (時間)
* t5t_5: PからCと出会うまでCが歩いた時間 (時間)
問題文から以下の情報が得られます。
* PからQまでの距離は60km。
* AとBが2人乗り時のオートバイの速度は30km/h。
* Cの歩く速度は5km/h。
* AとCがQ地点に到着してから30分後にBがQ地点に到着。
まず、PからRまでの距離は 30t130t_1 kmです。次に、RからCと出会った地点までの距離は30kmなので、vt2=30v t_2 = 30 が成り立ちます。CがP地点からCとAが出会った地点まで歩いた距離は 5t55t_5 kmです。したがって、t5=t1+t2t_5 = t_1 + t_2 が成り立ちます。また、AとCが出会った地点からQ地点までの距離は 60−5t560 - 5t_5 kmなので、t3=60−5t530t_3 = \frac{60 - 5t_5}{30} が成り立ちます。
BがR地点からQ地点まで歩いた距離は 60−30t160 - 30t_1 kmなので、t4=60−30t15t_4 = \frac{60 - 30t_1}{5} が成り立ちます。AとCがQ地点に到着するまでの時間は t1+t2+t3t_1 + t_2 + t_3 です。BがQ地点に到着するまでの時間は t1+t4t_1 + t_4 です。問題文より、t1+t4=t1+t2+t3+12t_1 + t_4 = t_1 + t_2 + t_3 + \frac{1}{2} が成り立ちます。
これらの式を整理していきます。
t4=t2+t3+12t_4 = t_2 + t_3 + \frac{1}{2}
60−30t15=t2+60−5t530+12\frac{60 - 30t_1}{5} = t_2 + \frac{60 - 5t_5}{30} + \frac{1}{2}
12−6t1=t2+2−16t5+1212 - 6t_1 = t_2 + 2 - \frac{1}{6}t_5 + \frac{1}{2}
12−6t1=t2+2−16(t1+t2)+1212 - 6t_1 = t_2 + 2 - \frac{1}{6}(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}
12−6t1=t2+2−16t1−16t2+1212 - 6t_1 = t_2 + 2 - \frac{1}{6}t_1 - \frac{1}{6}t_2 + \frac{1}{2}
9.5−5.833t1=56t29.5 - 5.833t_1 = \frac{5}{6}t_2
また、vt2=30vt_2 = 30 より、t2=30vt_2 = \frac{30}{v}です。
9.5−5.833t1=56⋅30v9.5 - 5.833t_1 = \frac{5}{6} \cdot \frac{30}{v}
9.5−5.833t1=25v9.5 - 5.833t_1 = \frac{25}{v}
t1=3030=1t_1 = \frac{30}{30}=1 時間の場合で考えると
9.5−5.833=25v9.5 - 5.833 = \frac{25}{v}
3.667=25v3.667 = \frac{25}{v}
v=253.667≈6.81v = \frac{25}{3.667} \approx 6.81
t1=0.5t_1 = 0.5 の時を考えると
9.5−5.833∗0.5=6.58=25v9.5 - 5.833 * 0.5 = 6.58 = \frac{25}{v}
v=256.58=3.8v = \frac{25}{6.58} = 3.8
ここで、問題文に30km引き返した箇所でC君に会ったとあるので、引き返す距離よりもPからRまでの距離の方が短い場合、上記の前提が崩れるので、t1 > 1 は前提を満たさない。
問題文を読み返すと、R地点を通過後30km地点でC君に合う、とあるので引き返す距離は関係ない。またC君を拾ってQ地点に向かうとあるので、C君がQ地点に到着する時間は、A君が送って行った時より早いことはない。
30分後に到着するという条件を満たすために、速度は早くないと行けない。
選択肢から考えると、答えは54km/h

3. 最終的な答え

3

「応用数学」の関連問題

直径 $d = 30 \text{ mm}$、長さ $l = 500 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が固定されており、軸の中央から先端にかけて単位長さあたり $\tau = 300 \te...

材料力学ねじり積分断面二次極モーメント横弾性係数
2025/6/6

ベクトル $\mathbf{A} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + ...

ベクトルベクトルの内積ベクトルの外積ラプラシアン
2025/6/6

直径 $d = 20 \text{ mm}$、長さ $l = 400 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が壁に固定されている。軸端に $T = 300 \text{ Nm}$ のトルクを作用さ...

力学材料力学ねじりトルク極断面二次モーメント横弾性係数単位変換
2025/6/6

ある船が川を $60 km$ 上るのに $5$ 時間、下るのに $3$ 時間かかった。このとき、以下の2つの問いに答える。 (1) この船の静水時の速さを求めなさい。 (2) この川の流れの速さを求め...

速度距離連立方程式文章問題
2025/6/6

2種類の財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。財 $x$ の価格を $p_x > 0$、...

経済学効用関数最適化ラグランジュ乗数法ミクロ経済学
2025/6/6

2つの財 $x$ と $y$ があり、効用関数が $u(x, y) = x^{\frac{1}{7}}y^{\frac{6}{7}}$ で与えられています。各財の価格は $p_x > 0$、$p_y ...

最適化効用関数ラグランジュ乗数法経済学
2025/6/6

この問題は、効用最大化問題を解くものです。所得$m$、x財の価格$p_x$、y財の価格$p_y$が与えられたとき、それぞれの効用関数$u(x,y)$のもとで、最適な消費計画$(x, y)$を求める問題...

効用最大化ラグランジュ乗数法経済学偏微分
2025/6/6

効用関数 $u(x, y) = xy$ のもとで、x財の価格が $p_x > 0$、y財の価格が $p_y > 0$、所得が $m > 0$ であるときの最適消費プラン (x, y) を求める問題です...

最適化効用関数ラグランジュ乗数法経済学
2025/6/6

$L(x, y, \lambda) = x^\alpha y^{1-\alpha} + \lambda(M - p_x x - p_y y)$ ここで $\lambda$ はラグランジュ乗数で...

経済学ミクロ経済学効用関数需要関数ラグランジュ乗数
2025/6/6

与えられた制約条件の下で、関数を最大化する最適化問題を解きます。 (1) $\max_{x,y} xy$ subject to $x+y-2=0$ (2) $\max_{x,y} x^3y^2$ su...

最適化制約付き最適化ラグランジュの未定乗数法微分最大値
2025/6/6