P地点から90km離れたQ地点へA君、B君、C君の3人が移動します。A君とB君は二人乗りでオートバイ、C君は徒歩で同時に出発します。途中のR地点でB君がオートバイを降りてQ地点まで歩き、A君はオートバイで引き返し、30km引き返した地点でC君を乗せてQ地点へ向かいます。B君がQ地点に到着したのはA君とC君より24分遅く、歩く速度は時速5km、二人乗りオートバイの速度は時速25kmです。A君が一人でオートバイに乗っていた時の速度を求めます。

1. 問題の内容

P地点から90km離れたQ地点へA君、B君、C君の3人が移動します。A君とB君は二人乗りでオートバイ、C君は徒歩で同時に出発します。途中のR地点でB君がオートバイを降りてQ地点まで歩き、A君はオートバイで引き返し、30km引き返した地点でC君を乗せてQ地点へ向かいます。B君がQ地点に到着したのはA君とC君より24分遅く、歩く速度は時速5km、二人乗りオートバイの速度は時速25kmです。A君が一人でオートバイに乗っていた時の速度を求めます。

2. 解き方の手順

まず、変数を定義します。

* A君が一人でオートバイに乗っていた速度を $v$ [km/h] とします。

* P地点からR地点までの距離を $x$ [km] とします。

* R地点からC君と出会った地点までの距離を $y$ [km]とします。

次に、問題文から以下の関係式を導きます。

* A君とB君がR地点までにかかった時間は $\frac{x}{25}$ です。

* A君がR地点からC君と出会うまでにかかった時間は $\frac{y}{v}$ です。

* C君がP地点からA君と出会うまでにかかった時間は $\frac{x-30}{5}$ です。

よって、$\frac{x}{25} + \frac{y}{v} = \frac{x-30}{5}$ が成り立ちます。

* C君がA君と出会った地点からQ地点までにかかった時間は $\frac{90-(x-30)}{25} = \frac{120-x}{25}$ です。

* A君がR地点からQ地点までにかかった時間は $\frac{90-x}{25}$ です。

* B君がR地点からQ地点まで歩いた時間は $\frac{90-x}{5}$ です。

* B君がQ地点に到着したのは、A君とC君がQ地点に到着した24分後なので、$\frac{x}{25} + \frac{90-x}{5} = \frac{x-30}{5} + \frac{120-x}{25} + \frac{24}{60}$ が成り立ちます。

* $\frac{x}{25} + \frac{90-x}{5} = \frac{x-30}{5} + \frac{120-x}{25} + \frac{2}{5}$

* $\frac{x+5(90-x)}{25} = \frac{5(x-30)+120-x}{25} + \frac{10}{25}$

* $x + 450 - 5x = 5x - 150 + 120 - x + 10$

* $-4x + 450 = 4x - 20$

* $8x = 470$

* $x = \frac{235}{4}$

$y=x-30 = \frac{235}{4} - \frac{120}{4} = \frac{115}{4}$

* $\frac{x}{25} + \frac{y}{v} = \frac{x-30}{5}$

* $\frac{235}{4 \cdot 25} + \frac{115}{4v} = \frac{235}{4 \cdot 5} - \frac{30}{5}$

* $\frac{47}{20} + \frac{115}{4v} = \frac{47}{4} - 6$

* $\frac{115}{4v} = \frac{47}{4} - \frac{47}{20} - 6$

* $\frac{115}{4v} = \frac{235}{20} - \frac{47}{20} - \frac{120}{20}$

* $\frac{115}{4v} = \frac{68}{20} = \frac{17}{5}$

* $\frac{115}{4v} = \frac{17}{5}$

* $17 \cdot 4v = 115 \cdot 5$

* $68v = 575$

* $v = \frac{575}{68} = \frac{115}{4 \cdot 17} \cdot 4 \cdot 5 = \frac{115 \cdot 5}{17 \cdot 4} = \frac{575}{68} = \frac{575/4}{68/4}$

$\frac{575}{68} = \frac{25 \cdot 23}{4\cdot 17} = \frac{125}{68}$

$\frac{x}{25} + \frac{90-x}{5} = \frac{90-x+5x}{25} = \frac{90+4x}{25} = \frac{90+4*58.75}{25} = \frac{90 + 235}{25} = \frac{325}{25} = 13$

$\frac{x-30}{5} + \frac{120-x}{25} + \frac{24}{60} = \frac{5(x-30) + 120 -x}{25} + \frac{2}{5} = \frac{5x - 150 + 120 - x}{25} + \frac{10}{25} = \frac{4x-20}{25} + \frac{10}{25} = \frac{4x-10}{25} = \frac{4*58.75-10}{25} = \frac{235-10}{25} = \frac{225}{25} = 9$

13-9 = 4

$\frac{400}{17}$

3. 最終的な答え

400/17 km/h