## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題は以下の通りです。

1. 40人の中から、(1)3人の代表を選ぶ方法、(2)部長1人と副部長2人を選ぶ方法の数を求めます。

2. 正二十角形について、(1)4つの頂点を選んでできる四角形の数、(2)対角線の本数を求めます。

3. 横に3本、斜めに4本の平行線がある図に含まれる平行四辺形の数を求めます。

4. 異なる10冊の本を、(1)AさんとBさんに4冊ずつ、Cさんに2冊分ける方法、(2)4冊、4冊、2冊の3つの組に分ける方法の数を求めます。

##

2. 解き方の手順

###

1. 代表の選び方

(1) 3人の代表を選ぶ場合、順番は関係ないので組み合わせを使います。40人から3人を選ぶ組み合わせは $_ {40} C _ {3}$ で計算できます。

$_ {40} C _ {3} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 13 \times 38 = 4940$

(2) 部長1人と副部長2人を選ぶ場合、まず部長を選び、次に残りの39人から副部長2人を選びます。

部長の選び方は40通りです。

副部長2人の選び方は $_ {39} C _ {2}$ で計算できます。

$_ {39} C _ {2} = \frac{39 \times 38}{2 \times 1} = 39 \times 19 = 741$

したがって、部長1人と副部長2人を選ぶ方法は $40 \times 741 = 29640$ 通りです。

###

2. 正二十角形

(1) 20個の頂点から4つを選んでできる四角形の数は、順番は関係ないので組み合わせを使います。

$_ {20} C _ {4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$

(2) 対角線の数は、まず20個の頂点から2つを選ぶ組み合わせを求め、そこから辺の数（20）を引きます。

$_ {20} C _ {2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$

対角線の本数は $190 - 20 = 170$ 本です。

###

3. 平行四辺形の数

平行四辺形を作るには、横の平行線から2本、斜めの平行線から2本を選ぶ必要があります。

横の平行線から2本選ぶ方法は $_ {3} C _ {2} = 3$ 通りです。

斜めの平行線から2本選ぶ方法は $_ {4} C _ {2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

したがって、平行四辺形の数は $3 \times 6 = 18$ 個です。

###

4. 本の分け方

(1) AさんとBさんに4冊ずつ、Cさんに2冊分ける場合、まず10冊からAさんに渡す4冊を選びます。次に残りの6冊からBさんに渡す4冊を選びます。最後に残った2冊をCさんに渡します。

Aさんの選び方は $_ {10} C _ {4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通りです。

Bさんの選び方は $_ {6} C _ {4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通りです。

Cさんの選び方は $_ {2} C _ {2} = 1$ 通りです。

したがって、本の分け方は $210 \times 15 \times 1 = 3150$ 通りです。

(2) 4冊、4冊、2冊の3組に分ける場合、(1)と同様に計算しますが、AとBの区別がないため、2! で割る必要があります。

$_ {10} C _ {4} \times _ {6} C _ {4} \times _ {2} C _ {2} = 210 \times 15 \times 1 = 3150$

4冊の組が2つあるので、 $3150 / 2 = 1575$ 通りです。

##

3. 最終的な答え

1. (1) 4940通り (2) 29640通り

2. (1) 4845個 (2) 170本

3. 18個

4. (1) 3150通り (2) 1575通り