20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均は12、分散は3である。残りの12個の値の平均は17、分散は8である。このデータ全体の平均と分散を求めよ。

1. 問題の内容

20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均は12、分散は3である。残りの12個の値の平均は17、分散は8である。このデータ全体の平均と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体の平均を求める。

全体の平均は、それぞれのグループの平均を個数で重み付けして足し合わせ、全体の個数で割ることで求められる。

$\text{全体の平均} = \frac{8 \times 12 + 12 \times 17}{20}$

次に、全体の分散を求める。

分散を求めるには、まず各データの二乗の平均を求める必要がある。

分散の定義式は、$\text{分散} = \text{データの二乗の平均} - (\text{平均})^2$　である。

これを変形すると、$\text{データの二乗の平均} = \text{分散} + (\text{平均})^2$　となる。

最初の8個のデータの二乗の平均を $E_1$ とすると、

$E_1 = 3 + 12^2 = 3 + 144 = 147$

したがって、最初の8個のデータの二乗の和は $8 \times 147 = 1176$

残りの12個のデータの二乗の平均を $E_2$ とすると、

$E_2 = 8 + 17^2 = 8 + 289 = 297$

したがって、残りの12個のデータの二乗の和は $12 \times 297 = 3564$

全体のデータの二乗の和は $1176 + 3564 = 4740$

全体のデータの二乗の平均は $4740 / 20 = 237$

全体の平均は $\frac{8 \times 12 + 12 \times 17}{20} = \frac{96 + 204}{20} = \frac{300}{20} = 15$

全体の分散は $237 - 15^2 = 237 - 225 = 12$

3. 最終的な答え

全体の平均値は 15 であり、分散は 12 である。