楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点Q($x_1, y_1$), R($x_2, y_2$) で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求め、線分QRの中点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $4x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点Q($x_1, y_1$), R($x_2, y_2$) で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求め、線分QRの中点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 楕円と直線の交点について考えます。

楕円の方程式 $4x^2 + y^2 = 4$ に直線の方程式 $y = -x + k$ を代入します。

$4x^2 + (-x + k)^2 = 4$

$4x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 4$

$5x^2 - 2kx + k^2 - 4 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-2k)^2 - 4(5)(k^2 - 4) = 4k^2 - 20k^2 + 80 = -16k^2 + 80$

$D > 0$ より、 $-16k^2 + 80 > 0$

$16k^2 < 80$

$k^2 < 5$

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

(2) 線分QRの中点Pの座標を求めます。

$P(X, Y)$ とすると、$X = \frac{x_1 + x_2}{2}$、$Y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$5x^2 - 2kx + k^2 - 4 = 0$ の2つの解が $x_1, x_2$ なので、解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = \frac{2k}{5}$

$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{k}{5}$

$k = 5X$

$y_1 = -x_1 + k$、$y_2 = -x_2 + k$

$y_1 + y_2 = -(x_1 + x_2) + 2k = -\frac{2k}{5} + 2k = \frac{8k}{5}$

$Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4k}{5} = \frac{4(5X)}{5} = 4X$

(3) $k$ の範囲から $X$ の範囲を求めます。

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$ なので、$-\sqrt{5} < 5X < \sqrt{5}$

$-\frac{\sqrt{5}}{5} < X < \frac{\sqrt{5}}{5}$

$Y = 4X$ なので、軌跡は $y = 4x$。

(4) 楕円上の点と直線が一致しない条件を確認します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ のとき、$y= \pm \frac{4\sqrt{5}}{5}$

このとき、$y = -x+k$ に代入して、 $k=x+y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \pm \frac{4\sqrt{5}}{5} = \pm \sqrt{5}$

これは異なる２点で交わる条件 $-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$ に反するので、これらの点は除外する必要はありません。

3. 最終的な答え

$k$ の値の範囲: $-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

Pの軌跡: $y = 4x$ ($-\frac{\sqrt{5}}{5} < x < \frac{\sqrt{5}}{5}$)