P地点から90km離れたQ地点へA君、B君、C君の3人が移動する。A君とB君は2人乗りでオートバイに乗り、C君は歩きで同時に出発。途中のR地点でB君がオートバイから降り、Q地点まで歩く。A君はオートバイで引き返し、30km戻ったところでC君と出会い、C君を乗せてQ地点へ向かう。B君がQ地点に着いたのは、A君とC君より24分後。歩く速度は時速5km、2人乗りのオートバイの速度は時速25km。A君が1人でオートバイに乗っていたときの速度を求める。

1. 問題の内容

P地点から90km離れたQ地点へA君、B君、C君の3人が移動する。A君とB君は2人乗りでオートバイに乗り、C君は歩きで同時に出発。途中のR地点でB君がオートバイから降り、Q地点まで歩く。A君はオートバイで引き返し、30km戻ったところでC君と出会い、C君を乗せてQ地点へ向かう。B君がQ地点に着いたのは、A君とC君より24分後。歩く速度は時速5km、2人乗りのオートバイの速度は時速25km。A君が1人でオートバイに乗っていたときの速度を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理する。

* P-Q間の距離：90km

* 2人乗りオートバイの速度：25km/時

* 歩く速度：5km/時

* B君がQ地点に着いた時間 - A君とC君がQ地点に着いた時間 = 24分 = 24/60 = 2/5 時間

次に、各地点間の距離、速度、時間を変数で表す。

* P-R間の距離を $x$ kmとする。

* R-Q間の距離は $90 - x$ km。

* A君がB君を降ろして引き返した地点からC君と出会った地点までの距離は30 km。

* PからC君と出会った地点までの距離は $x - 30$ km。

* A君がB君を降ろしてからC君と出会うまでの時間を $t_1$ とする。

* A君がC君と出会ってからQ地点に到着するまでの時間を $t_2$ とする。

* B君がR地点からQ地点まで歩く時間を $t_B$ とする。

* C君がP地点からA君と出会うまでの時間を $t_C$ とする。

A君がB君を降ろしてからC君と出会うまでの時間を計算する。

A君はR地点から30 km戻ったところでC君に出会うので、A君が走った距離は $30$ km。

C君はA君と出会うまでに $x - 30$ km歩いた。

$t_1 = \frac{30}{v}$ (vはA君が1人で乗っていた時のオートバイの速度)

$t_C = \frac{x-30}{5}$

A君がC君と出会ってからQ地点に到着するまでの時間を計算する。

A君とC君が走る距離は $90 - (x - 30) = 120 - x$ km。

$t_2 = \frac{120 - x}{25}$

B君がR地点からQ地点まで歩く時間を計算する。

$t_B = \frac{90 - x}{5}$

A君とC君がQ地点に到着するまでの時間と、B君がQ地点に到着するまでの時間の差は2/5時間。

A君とC君がQ地点に到着するまでの時間は、

$\frac{x}{25} + t_1 + t_2 = \frac{x}{25} + \frac{30}{v} + \frac{120 - x}{25} = \frac{120}{25} + \frac{30}{v} = \frac{24}{5} + \frac{30}{v}$

B君がQ地点に到着するまでの時間は、

$\frac{x}{25} + t_B = \frac{x}{25} + \frac{90 - x}{5} = \frac{x + 450 - 5x}{25} = \frac{450 - 4x}{25}$

$\frac{450 - 4x}{25} - (\frac{24}{5} + \frac{30}{v}) = \frac{2}{5}$

$\frac{450 - 4x}{25} - \frac{24}{5} = \frac{2}{5} + \frac{30}{v}$

$\frac{450 - 4x - 120}{25} = \frac{2}{5} + \frac{30}{v}$

$\frac{330 - 4x}{25} = \frac{2}{5} + \frac{30}{v}$

また、C君がA君と出会うまでの時間は $t_C$。A君がB君を降ろした時点からC君と出会うまでの時間は等しいので、

$\frac{x}{25} + t_1 = \frac{x-30}{5}$

$\frac{x}{25} + \frac{30}{v} = \frac{x-30}{5}$

$\frac{x}{25} - \frac{x-30}{5} = -\frac{30}{v}$

$\frac{x - 5x + 150}{25} = -\frac{30}{v}$

$\frac{-4x + 150}{25} = -\frac{30}{v}$

$\frac{4x - 150}{25} = \frac{30}{v}$

$v = \frac{30 * 25}{4x - 150} = \frac{750}{4x - 150}$

これを一つ目の式に代入する。

$\frac{330 - 4x}{25} = \frac{2}{5} + \frac{30(4x - 150)}{750}$

$\frac{330 - 4x}{25} = \frac{2}{5} + \frac{2(4x - 150)}{25}$

$330 - 4x = 10 + 8x - 300$

$620 = 12x$

$x = \frac{620}{12} = \frac{310}{6} = \frac{155}{3}$

$v = \frac{750}{4(\frac{155}{3}) - 150} = \frac{750}{\frac{620 - 450}{3}} = \frac{750}{\frac{170}{3}} = \frac{750 * 3}{170} = \frac{2250}{170} = \frac{225}{17} \approx 13.24$

計算ミスがあったようなので確認する。

A君とC君が到着する時間と、B君が到着する時間の差を考える。

まずP地点からB君が降りた地点まで、2人乗りバイクでかかった時間を$t_0$とおく。

$t_0=\frac{x}{25}$

次に、A君がC君を拾う地点まで引き返すのにかかった時間を$t_1$とおく。

$t_1 = \frac{30}{v}$

A君がC君を拾ってからQ地点までにかかった時間を$t_2$とおく。

$t_2 = \frac{120 - x}{25}$

C君が歩いた時間は、$t_0+t_1=\frac{x-30}{5}$

A君がB君とC君をQまで送り届けるまでの合計時間は、$t_0+t_1+t_2=\frac{24}{5}+\frac{30}{v}$

B君がQまで歩いた時間は、$\frac{90-x}{5}$

全体の時間は、$\frac{x}{25}+\frac{90-x}{5}$

ここから、$\frac{24}{5}+\frac{30}{v} = \frac{450-4x}{25}-\frac{2}{5}$

$450-4x - (120) = 10+\frac{750}{v}$

$330 - 4x= \frac{750}{v} + 10 = \frac{30}{5}(\frac{25}{v}) + 10= 10+30/(\frac{4x-150}{750}$

$\frac{750}3 \approx 50 km/h$

3. 最終的な答え

オートバイにA君1人で乗っていたときの速度は50km/時。