与えられた二つの式が示す状態を、図と文章を用いて説明せよ。 a) $A \cdot B < 0$ b) $F = -C \times D$ (ただし、$C$ と $D$ の向きは異なるとする)

1. 問題の内容

与えられた二つの式が示す状態を、図と文章を用いて説明せよ。

a) $A \cdot B < 0$

b) $F = -C \times D$ (ただし、$C$ と $D$ の向きは異なるとする)

2. 解き方の手順

a) 式 $A \cdot B < 0$ について

これはベクトル $A$ とベクトル $B$ の内積が負であることを意味します。ベクトルの内積は次のように定義されます。

$A \cdot B = |A| |B| \cos{\theta}$

ここで、$|A|$ と $|B|$ はそれぞれのベクトルの大きさ、$\theta$ は二つのベクトルがなす角です。内積が負になるためには、$\cos{\theta}$ が負である必要があります。$\cos{\theta}$ が負になるのは、$90^{\circ} < \theta \le 180^{\circ}$ の範囲です。つまり、$A$ と $B$ がなす角が直角よりも大きく、一直線状（反平行）を含む状態を表します。

図としては、ベクトル $A$ とベクトル $B$ を始点を同じにして描き、そのなす角が $90^{\circ}$ より大きいことを示す図が適切です。

b) 式 $F = -C \times D$ について

これはベクトル $F$ がベクトル $C$ とベクトル $D$ の外積の負のベクトルであることを意味します。外積はベクトル積とも呼ばれ、$C \times D$ で得られるベクトルは、$C$ と $D$ の両方に垂直なベクトルとなります。具体的には、右手の法則に従って、人差し指を $C$ の方向、中指を $D$ の方向に向けると、親指の方向が $C \times D$ の方向となります。$F = -C \times D$ なので、$F$ の方向は $C \times D$ の方向と逆向きになります。

図としては、ベクトル $C$ とベクトル $D$ を描き、それらを含む平面に対して垂直な方向に、$C \times D$ のベクトルを描き、それと反対方向に $F$ のベクトルを描くのが適切です。

3. 最終的な答え

a) $A \cdot B < 0$ は、ベクトル $A$ とベクトル $B$ がなす角が $90^{\circ}$ よりも大きく、$180^{\circ}$ 以下の状態を示します。つまり、$A$ と $B$ は鈍角をなしています。

b) $F = -C \times D$ は、ベクトル $F$ がベクトル $C$ とベクトル $D$ の外積ベクトル $C \times D$ と反対の方向を向いていることを示します。ベクトル $F$ はベクトル $C$ とベクトル $D$ が作る平面に垂直で、向きは右ねじの法則に従う $C \times D$ の向きと逆です。