区別のつかない14個のボールをA, B, Cの3つの箱に入れる。ただし、どの箱にも少なくとも1個はボールが入るようにする。このとき、入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

区別のつかない14個のボールをA, B, Cの3つの箱に入れる。ただし、どの箱にも少なくとも1個はボールが入るようにする。このとき、入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、どの箱にも1個以上ボールを入れるという条件を満たすために、各箱に1個ずつボールを入れておく。

すると、残りのボールは $14 - 3 = 11$ 個となる。

この11個のボールをA, B, Cの3つの箱に自由に分配する。

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができる。

$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ重複組み合わせの数は $_{n+r-1}C_r$ で表される。

今回の問題では、11個のボールを3つの箱に分配するので、$n = 3$, $r = 11$ となる。

したがって、求める場合の数は $_{3+11-1}C_{11} = _{13}C_{11}$ となる。

$_{13}C_{11} = \frac{13!}{11!2!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$

3. 最終的な答え

78通り