単純支持梁の最大曲げモーメントを求め、断面が幅30mmの長方形の時の高さを求める。許容曲げ応力は60MPaとする。

1. 問題の内容

単純支持梁の最大曲げモーメントを求め、断面が幅30mmの長方形の時の高さを求める。許容曲げ応力は60MPaとする。

2. 解き方の手順

まず、反力 $R_A$ と $R_B$ を求めます。

力の釣り合いから、

$R_A + R_B = 3 + 1.5 = 4.5 \text{ kN}$

点Bまわりのモーメントの釣り合いから、

$R_A (400 + 800 + 800) - 3(800 + 800) - 1.5(800) = 0$

$R_A (2000) = 3(1600) + 1.5(800) = 4800 + 1200 = 6000$

$R_A = 3 \text{ kN}$

$R_A + R_B = 4.5 \text{ kN}$ より、

$R_B = 4.5 - R_A = 4.5 - 3 = 1.5 \text{ kN}$

次に、曲げモーメントを求めます。

点Cでの曲げモーメント $M_C = R_A \times 0.4 = 3 \times 0.4 = 1.2 \text{ kNm}$

点Dでの曲げモーメント $M_D = R_B \times 0.8 = 1.5 \times 0.8 = 1.2 \text{ kNm}$

最大曲げモーメントは$M_{max} = 1.2 \text{ kNm} = 1.2 \times 10^6 \text{ Nmm}$

長方形断面の断面係数 $Z$ は、$Z = \frac{bh^2}{6}$ で表されます。ここで、$b$ は幅、$h$ は高さです。

許容曲げ応力 $\sigma_{allow}$ は、$\sigma_{allow} = \frac{M_{max}}{Z}$ で表されます。

したがって、$Z = \frac{M_{max}}{\sigma_{allow}} = \frac{1.2 \times 10^6}{60} = 20000 \text{ mm}^3$

$Z = \frac{bh^2}{6}$ より、

$\frac{30h^2}{6} = 20000$

$5h^2 = 20000$

$h^2 = 4000$

$h = \sqrt{4000} = 20\sqrt{10} \approx 63.25 \text{ mm}$

3. 最終的な答え

高さ: 63.25 mm