2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_a x$ が点Pで接している。ただし、Pの$x$座標は正とする。 (1) $a$を求める。 (2) 2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_a x$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_a x$ が点Pで接している。ただし、Pの$x$座標は正とする。

(1) $a$を求める。

(2) 2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_a x$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$軸の周りに1回転させたときにできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つの曲線が点Pで接しているので、点Pにおける$x$座標を$t$とすると、

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t$

両辺を微分すると、

$x = \frac{1}{x \log a}$

$t = \frac{1}{t \log a}$

$t^2 = \frac{1}{\log a}$

$\log a = \frac{1}{t^2}$

$a = e^{\frac{1}{t^2}}$

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t = \frac{\log t}{\log a} = \frac{\log t}{\frac{1}{t^2}} = t^2 \log t$

$\frac{1}{2} = \log t$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

$a = e^{\frac{1}{t^2}} = e^{\frac{1}{e}} = e^{e^{-1}} = \sqrt[e]{e}$

したがって、$a = e^{1/e}$

選択肢の中に$e^{1/e}$はない。

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t$

$x=t$で接するので、$x=t$で傾きが等しい

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2) = x$

$\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \log a}$

$t = \frac{1}{t \log a}$

$\log a = \frac{1}{t^2}$

$a = e^{1/t^2}$

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t = \frac{\ln t}{\ln a} = \frac{\ln t}{\frac{1}{t^2}}$

$\frac{1}{2} = t^2 (\frac{1}{2 \sqrt{e}})= t^2 \log(t)$

$ln t=1/2$, $t = \sqrt{e}$

$a = e^{\frac{1}{e}} = e^{e^{-1}}$

$y = \frac{1}{2}x^2$と$y=\log_a x$が接するので、

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2) = \frac{d}{dx}(\log_a x)$

$x=\frac{1}{x \ln a}$

$x^2= \frac{1}{ln a}$

$x = \sqrt{\frac{1}{ln a}}$

$\frac{1}{2}x^2=\log_a x$

$\frac{1}{2} \frac{1}{ln a} = \frac{ln x}{ln a} = \frac{ln \sqrt{\frac{1}{ln a}}}{ln a}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{ln a} = \frac{1}{2} \frac{ln \frac{1}{ln a}}{ln a} = \frac{1}{2} \frac{-ln (ln a)}{ln a}$

$1= -ln (ln a)$

$e^{-1} = ln a$

$a=e^{\frac{1}{e}}$

$a = e^{1/e}$なので、選択肢にないので、接点の座標を求める。

接点を$(t, \frac{1}{2}t^2)$とすると

$y = \log_a x$より、 $\frac{1}{2}t^2 = \log_a t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln a}$

$\frac{1}{t \ln a} = t$

$1 = t^2 \ln a$

$\ln a = \frac{1}{t^2}$

$a = e^{\frac{1}{t^2}}$

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t = \frac{\ln t}{\ln a} = \frac{\ln t}{\frac{1}{t^2}} = t^2 \ln t$

$\frac{1}{2} = \ln t$

$t = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

$a = e^{\frac{1}{e}} = e^{1/e}$

正解はないようです。

次に体積の計算をします。

(2) 体積を求めるには$y=\log_a x$と$y=\frac{1}{2}x^2$の交点を求める必要があります。

$\log_a x=0$のとき、$x=1$

$y = \frac{1}{2}x^2$と$x$軸に囲まれた図形を回転させた体積は$\int_0^{\sqrt{2}}{\pi (\frac{1}{2}x^2)^2}dx = \frac{\sqrt{2} \pi}{20}$

問題文を読み直すと、正のx座標を持つ点Pで接しているとあります。

つまり接点のx座標は$\sqrt{e}$です。

$y=log_a x$とx軸の交点は、x=1,y=0です。

3. 最終的な答え

(1) $a = e^{\frac{1}{e}}$

(2)　計算中