以下の3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{5}^{6} (x-5)^7 dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 2} dx$ (3) $\int_{-1}^{2} \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{5}^{6} (x-5)^7 dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 2} dx$

(3) $\int_{-1}^{2} \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = x - 5$ と置換すると、$du = dx$ となります。

積分範囲は、$x=5$ のとき $u=0$、$x=6$ のとき $u=1$ となります。

したがって、

$\int_{5}^{6} (x-5)^7 dx = \int_{0}^{1} u^7 du = \left[\frac{u^8}{8}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}$

(2)

$u = e^x + 2$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

積分範囲は、$x=0$ のとき $u=e^0 + 2 = 1 + 2 = 3$、$x=1$ のとき $u=e^1 + 2 = e + 2$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 2} dx = \int_{3}^{e+2} \frac{1}{u} du = \left[\ln|u|\right]_{3}^{e+2} = \ln(e+2) - \ln(3) = \ln\left(\frac{e+2}{3}\right)$

(3)

$t = \sqrt{3-x}$ と置換すると、$t^2 = 3-x$ より $x = 3-t^2$、$dx = -2t dt$ となります。

積分範囲は、$x=-1$ のとき $t = \sqrt{3-(-1)} = \sqrt{4} = 2$、$x=2$ のとき $t = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$ となります。

したがって、

$\int_{-1}^{2} \frac{x}{\sqrt{3-x}} dx = \int_{2}^{1} \frac{3-t^2}{t} (-2t) dt = -2 \int_{2}^{1} (3-t^2) dt = 2 \int_{1}^{2} (3-t^2) dt = 2 \left[3t - \frac{t^3}{3}\right]_{1}^{2} = 2 \left[\left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(3 - \frac{1}{3}\right)\right] = 2 \left[3 - \frac{7}{3}\right] = 2 \left[\frac{9-7}{3}\right] = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\ln\left(\frac{e+2}{3}\right)$

(3) $\frac{4}{3}$