次の関数の最大値、最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。 (1) $y = -\sin\theta - 2$ ($0 \le \theta \le \pi$) (2) $y = \cos^2\theta + \sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) (3) $y = \tan^2\theta + 2\tan\theta + 3$ ($-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)

1. 問題の内容

次の関数の最大値、最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

(1) $y = -\sin\theta - 2$ ($0 \le \theta \le \pi$)

(2) $y = \cos^2\theta + \sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

(3) $y = \tan^2\theta + 2\tan\theta + 3$ ($-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -\sin\theta - 2$ ($0 \le \theta \le \pi$)

$\sin\theta$の範囲は$0 \le \sin\theta \le 1$である。

したがって、$y$の範囲は$-1 - 2 \le y \le 0 - 2$となり、$-3 \le y \le -2$である。

$y$が最大値をとるとき、$\sin\theta = 0$なので、$\theta = 0, \pi$。このとき、$y = -2$。

$y$が最小値をとるとき、$\sin\theta = 1$なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$。このとき、$y = -3$。

(2) $y = \cos^2\theta + \sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$より、$y = 1 - \sin^2\theta + \sin\theta$

$t = \sin\theta$とおくと、$y = -t^2 + t + 1 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

$0 \le \theta < 2\pi$より、$-1 \le t \le 1$である。

$t = \frac{1}{2}$のとき、$y$は最大値$\frac{5}{4}$をとる。$\sin\theta = \frac{1}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$t = -1$のとき、$y$は最小値$-1$をとる。$\sin\theta = -1$より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(3) $y = \tan^2\theta + 2\tan\theta + 3$ ($-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)

$t = \tan\theta$とおくと、$y = t^2 + 2t + 3 = (t+1)^2 + 2$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$-\infty < t < \infty$である。

$t = -1$のとき、$y$は最小値$2$をとる。$\tan\theta = -1$より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$

$t$がいくらでも大きくなるので、最大値はない。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: -2 ($\theta = 0, \pi$)

最小値: -3 ($\theta = \frac{\pi}{2}$)

(2)

最大値: $\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$)

最小値: -1 ($\theta = \frac{3\pi}{2}$)

(3)

最大値: なし

最小値: 2 ($\theta = -\frac{\pi}{4}$)