次の3つの不定積分を、指定された変数で置き換えて求めます。 (1) $\int (2x+1)(x^2+x+1)dx$ ($t = x^2+x+1$) (2) $\int \frac{\log |x|}{x}dx$ ($t = \log |x|$) (3) $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}dx$ ($t = x^2+3x+1$)

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を、指定された変数で置き換えて求めます。

(1) $\int (2x+1)(x^2+x+1)dx$ ($t = x^2+x+1$)

(2) $\int \frac{\log |x|}{x}dx$ ($t = \log |x|$)

(3) $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}dx$ ($t = x^2+3x+1$)

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2+x+1$ と置換すると、$dt = (2x+1)dx$ となります。

したがって、

$\int (2x+1)(x^2+x+1)dx = \int t dt = \frac{1}{2}t^2 + C = \frac{1}{2}(x^2+x+1)^2 + C$

(2) $t = \log |x|$ と置換すると、$dt = \frac{1}{x}dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\log |x|}{x}dx = \int t dt = \frac{1}{2}t^2 + C = \frac{1}{2}(\log |x|)^2 + C$

(3) $t = x^2+3x+1$ と置換すると、$dt = (2x+3)dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}dx = \int \frac{1}{t} dt = \log |t| + C = \log |x^2+3x+1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}(x^2+x+1)^2 + C$

(2) $\frac{1}{2}(\log |x|)^2 + C$

(3) $\log |x^2+3x+1| + C$