曲線 $y^2 = x^2(4-x^2)$ の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y^2 = x^2(4-x^2)$ の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認:

$y^2$ は常に非負なので、$x^2(4-x^2) \geq 0$ となる必要があります。$x^2$ は常に非負なので、$4-x^2 \geq 0$ を満たす必要があります。

$4-x^2 \geq 0$ を解くと、$x^2 \leq 4$ となり、$-2 \leq x \leq 2$ が得られます。したがって、定義域は $-2 \leq x \leq 2$ です。

(2) 対称性の確認:

$y^2 = x^2(4-x^2)$ という式において、$x$ を $-x$ に置き換えても式は変わりません。

$y^2 = (-x)^2(4-(-x)^2) = x^2(4-x^2)$

よって、この曲線はy軸に関して対称です。

また、$y$ を $-y$ に置き換えても式は変わりません。

$(-y)^2 = y^2 = x^2(4-x^2)$

よって、この曲線はx軸に関して対称です。

したがって、この曲線は原点に関して対称です。

(3) 特徴的な点の確認：

$y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x^2(4-x^2) = 0$ より、$x=0$ または $x^2 = 4$ となります。

したがって、$x=0$ または $x=\pm 2$ です。つまり、この曲線は$(0,0)$、$(2,0)$、$(-2,0)$を通ります。

$x=0$ のとき、$y^2=0$ なので、$y=0$ となり、原点$(0,0)$を通ります。

(4) グラフの概形:

与えられた式は $y^2 = x^2(4-x^2)$ なので、$y = \pm x\sqrt{4-x^2}$ となります。

$x \geq 0$ の範囲で考え、$x$ が増加すると、$x\sqrt{4-x^2}$ も増加しますが、$x=\sqrt{2}$ のとき最大値 $2$ をとり、$x=2$ で $0$ になります。

また、原点$(0,0)$では、$y'=\pm \sqrt{4-x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \pm \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$x$ が $0$ に近いとき、$y'=\pm 2$ なので、原点付近では $y = \pm 2x$ に近い形となります。

y軸に対して対称なので、$x<0$ の領域も同様に考えられます。

(5)増減表（参考）：

増減表は省略しますが、$x=0$で$y=0$、$x= \pm\sqrt{2}$で極値$y=\pm 2$を持つことが分かります。

3. 最終的な答え

曲線の概形は、原点でx軸と交差し、x=±2でもx軸と交差する。y軸に対称な曲線で、x=±√2で極値y=±2を持つ。原点付近では、y=±2xに近い形をしている。