極限 $\lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x^2+3}$ を求めます。

## 問題の回答

### 問題1.(1)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x^2+3}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x$ に3を代入すると、分母は $3^2 + 3 = 12$、分子は $2 \times 3 - 3 = 3$ となり、不定形になりません。

したがって、そのまま代入して計算します。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 3} \frac{2x-3}{x^2+3} = \frac{2(3)-3}{3^2+3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

### 問題1.(2)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x$ に1を代入すると、分母は $1^2 - 1 = 0$、分子は $1^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 2 = 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

分子を因数分解して、$(x-1)$ の項を消去します。

$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)(x^2 - 2x + 2)$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

よって、

$\frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x^2 - 2x + 2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - 2x + 2}{x+1}$ ($x \neq 1$)

$x$ に1を代入すると、$\frac{1 - 2 + 2}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ となり、不定形は解消されました。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x - 2}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}$

### 問題1.(3)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x \cos 3x}{x} = \frac{\sin 2x}{x} \cos 3x = 2 \frac{\sin 2x}{2x} \cos 3x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin 2x}{2x} \cos 3x$

$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$ より、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

また、$\lim_{x \to 0} \cos 3x = \cos 0 = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin 2x}{2x} \cos 3x = 2 \times 1 \times 1 = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x \cos 3x}{x} = 2$

### 問題1.(4)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 3}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分母と分子を $x^2$ で割ります。

$\frac{2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 3} = \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$、$\frac{4}{x^2} \to 0$、$\frac{3}{x^2} \to 0$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{2 + 0 + 0}{1 + 0} = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 4}{x^2 + 3} = 2$

### 問題1.(5)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ を利用します。

$a = 3$ なので、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x = e^3$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{x})^x = e^3$

### 問題1.(6)

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - e^{-x})}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = \frac{e^0 + e^{-0}}{1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = 2$

### 問題2.(1)

1. 問題の内容

関数 $x^5 - 3x^3 + 2\sqrt{x}$ を微分します。

2. 解き方の手順

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} x^5 = 5x^4$

$\frac{d}{dx} (-3x^3) = -9x^2$

$\frac{d}{dx} (2\sqrt{x}) = \frac{d}{dx} (2x^{1/2}) = 2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

したがって、

$\frac{d}{dx} (x^5 - 3x^3 + 2\sqrt{x}) = 5x^4 - 9x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$5x^4 - 9x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

### 問題2.(2)

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ を微分します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-2/3}$

$\frac{d}{dx} x^{-2/3} = -\frac{2}{3} x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{3} x^{-5/3} = -\frac{2}{3x^{5/3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3x^{5/3}}$

### 問題2.(3)

1. 問題の内容

関数 $\log |x + 1|$ を微分します。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} \log |x+1| = \frac{1}{x+1} \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x+1}$

### 問題2.(4)

1. 問題の内容

関数 $e^{-x^2 + 1}$ を微分します。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} e^{-x^2+1} = e^{-x^2+1} \frac{d}{dx} (-x^2+1) = e^{-x^2+1} (-2x) = -2xe^{-x^2+1}$

3. 最終的な答え

$-2xe^{-x^2+1}$

### 問題2.(5)

1. 問題の内容

関数 $x \sin(2x+1)$ を微分します。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} [x \sin(2x+1)] = \frac{d}{dx}(x) \sin(2x+1) + x \frac{d}{dx} (\sin(2x+1))$

$= 1 \times \sin(2x+1) + x \times \cos(2x+1) \times 2$

$= \sin(2x+1) + 2x \cos(2x+1)$

3. 最終的な答え

$\sin(2x+1) + 2x \cos(2x+1)$

### 問題2.(6)

1. 問題の内容

関数 $\log(x + \sqrt{1+x^2})$ を微分します。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{1+x^2}) = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \frac{d}{dx}(x + \sqrt{1+x^2})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} (1 + \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} (2x)) = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} (1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$

$= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$