画像に書かれた3つの微分方程式の解を求める問題です。 (5) $x'' + 6x' + 9x = 0$ (6) $x'' + 6x' + 8x = 0$ (7) $x'' + 8x' + 20x = \cos(\omega t)$

1. 問題の内容

画像に書かれた3つの微分方程式の解を求める問題です。

(5) $x'' + 6x' + 9x = 0$

(6) $x'' + 6x' + 8x = 0$

(7) $x'' + 8x' + 20x = \cos(\omega t)$

2. 解き方の手順

(5) $x'' + 6x' + 9x = 0$

特性方程式は $r^2 + 6r + 9 = 0$

$(r+3)^2 = 0$

$r = -3$ (重根)

よって、一般解は $x(t) = (c_1 + c_2 t)e^{-3t}$

(6) $x'' + 6x' + 8x = 0$

特性方程式は $r^2 + 6r + 8 = 0$

$(r+2)(r+4) = 0$

$r = -2, -4$

よって、一般解は $x(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-4t}$

(7) $x'' + 8x' + 20x = \cos(\omega t)$

まず、斉次方程式 $x'' + 8x' + 20x = 0$ を解く。

特性方程式は $r^2 + 8r + 20 = 0$

$r = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-16}}{2} = -4 \pm 2i$

よって、斉次方程式の一般解は $x_h(t) = e^{-4t}(c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t))$

次に、非斉次方程式の特殊解を求める。

$x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ と仮定する。

$x_p'(t) = -A\omega \sin(\omega t) + B\omega \cos(\omega t)$

$x_p''(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) - B\omega^2 \sin(\omega t)$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(-A\omega^2 + 8B\omega + 20A)\cos(\omega t) + (-B\omega^2 - 8A\omega + 20B)\sin(\omega t) = \cos(\omega t)$

係数を比較して、

$-A\omega^2 + 8B\omega + 20A = 1$

$-B\omega^2 - 8A\omega + 20B = 0$

連立方程式を解いて、

$A(20 - \omega^2) + 8\omega B = 1$

$-8\omega A + (20 - \omega^2)B = 0$

$B = \frac{8\omega A}{20 - \omega^2}$

$A(20 - \omega^2) + \frac{64\omega^2 A}{20 - \omega^2} = 1$

$A((20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2) = 20 - \omega^2$

$A = \frac{20 - \omega^2}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2}$

$B = \frac{8\omega}{20 - \omega^2} A = \frac{8\omega}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2}$

したがって、一般解は

$x(t) = x_h(t) + x_p(t) = e^{-4t}(c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t)) + \frac{20 - \omega^2}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2} \cos(\omega t) + \frac{8\omega}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2} \sin(\omega t)$

3. 最終的な答え

(5) $x(t) = (c_1 + c_2 t)e^{-3t}$

(6) $x(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-4t}$

(7) $x(t) = e^{-4t}(c_1 \cos(2t) + c_2 \sin(2t)) + \frac{20 - \omega^2}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2} \cos(\omega t) + \frac{8\omega}{(20 - \omega^2)^2 + 64\omega^2} \sin(\omega t)$