次の8つの不定積分を計算します。 (1) $\int x \cos x \, dx$ (2) $\int xe^x \, dx$ (3) $\int x^2 \log x \, dx$ (4) $\int x \cos 2x \, dx$ (5) $\int xe^{-x} \, dx$ (6) $\int \log 2x \, dx$ (7) $\int \tan^{-1} x \, dx$ (8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

1. 問題の内容

次の8つの不定積分を計算します。

(1) $\int x \cos x \, dx$

(2) $\int xe^x \, dx$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

(4) $\int x \cos 2x \, dx$

(5) $\int xe^{-x} \, dx$

(6) $\int \log 2x \, dx$

(7) $\int \tan^{-1} x \, dx$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

2. 解き方の手順

それぞれの積分を部分積分を用いて計算します。

(1) $\int x \cos x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \sin x$ なので、

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int xe^x \, dx$

$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ なので、

$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ なので、

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(4) $\int x \cos 2x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) $\int xe^{-x} \, dx$

$u = x$, $dv = e^{-x} \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ なので、

$\int xe^{-x} \, dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

(6) $\int \log 2x \, dx$

$u = \log 2x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ なので、

$\int \log 2x \, dx = x \log 2x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log 2x - \int dx = x \log 2x - x + C$

(7) $\int \tan^{-1} x \, dx$

$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$ なので、

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ なので、

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\sqrt{1-x^2} + C$ より

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int xe^x \, dx = xe^x - e^x + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(4) $\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) $\int xe^{-x} \, dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

(6) $\int \log 2x \, dx = x \log 2x - x + C$

(7) $\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$