以下の2つの微分方程式の初期値問題を解きます。 (1) $y'' + y = 1$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$ (2) $2y'' - y' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$

## 問題1

1. 問題の内容

以下の2つの微分方程式の初期値問題を解きます。

(1) $y'' + y = 1$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$

(2) $2y'' - y' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 7$

2. 解き方の手順

(1)

まず、斉次方程式$y''+y = 0$を解きます。特性方程式は$r^2 + 1 = 0$となり、$r = \pm i$が得られます。よって、斉次解は$y_h(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$となります。

次に、特殊解を求めます。$y_p(x) = A$と仮定すると、$y_p'' = 0$なので、$0 + A = 1$より、$A = 1$となります。よって、$y_p(x) = 1$です。

したがって、一般解は$y(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + 1$となります。

初期条件$y(0) = 0$より、$c_1 + 1 = 0$なので、$c_1 = -1$となります。

$y'(x) = -c_1 \sin(x) + c_2 \cos(x)$なので、初期条件$y'(0) = 0$より、$c_2 = 0$となります。

よって、$y(x) = -\cos(x) + 1$となります。

(2)

まず、特性方程式$2r^2 - r + 1 = 0$を解きます。

$r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{4}$

よって、一般解は$y(x) = e^{\frac{x}{4}} (c_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$となります。

初期条件$y(0) = 0$より、$c_1 = 0$となります。

$y(x) = c_2 e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$

$y'(x) = c_2 (\frac{1}{4} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + e^{\frac{x}{4}} \frac{\sqrt{7}}{4} \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

初期条件$y'(0) = 7$より、$c_2 \frac{\sqrt{7}}{4} = 7$なので、$c_2 = \frac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$となります。

よって、$y(x) = 4\sqrt{7} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y(x) = 1 - \cos(x)$

(2) $y(x) = 4\sqrt{7} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$

## 問題2

1. 問題の内容

一様な電場$\mathbf{E}$と磁束密度$\mathbf{B}$の中で運動する荷電粒子の運動方程式が与えられています。$\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$, $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$のとき、以下の問いに答えます。

(1) $v_x, v_y, v_z$についての微分方程式をそれぞれ求めます。

(2) 時間$t=0$における速度$\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$のとき、$v_x, v_y, v_z$を求めます。

(3) 前問(2)の結果を図示し、荷電粒子の運動について述べます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた運動方程式は

$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$

$\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$、$\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$、$\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$を代入すると、

$m(\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt}) = q((E_0, 0, 0) + (v_x, v_y, v_z) \times (B_0, 0, 0))$

クロス積を計算すると、

$(v_x, v_y, v_z) \times (B_0, 0, 0) = (0, v_z B_0, -v_y B_0)$

したがって、

$m\frac{dv_x}{dt} = qE_0$

$m\frac{dv_y}{dt} = qv_z B_0$

$m\frac{dv_z}{dt} = -qv_y B_0$

(2)

(1)で求めた微分方程式を解きます。まず、$v_x$から解きます。

$m\frac{dv_x}{dt} = qE_0$より、

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qE_0}{m}$

積分すると、$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + C_1$

初期条件$v_x(0) = v_0$より、$C_1 = v_0$なので、

$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + v_0$

次に、$v_y$と$v_z$を解きます。

$\frac{dv_y}{dt} = \frac{qB_0}{m}v_z$

$\frac{dv_z}{dt} = -\frac{qB_0}{m}v_y$

$\omega = \frac{qB_0}{m}$とおくと、

$\frac{dv_y}{dt} = \omega v_z$

$\frac{dv_z}{dt} = -\omega v_y$

$\frac{d^2v_y}{dt^2} = \omega \frac{dv_z}{dt} = -\omega^2 v_y$

$\frac{d^2v_y}{dt^2} + \omega^2 v_y = 0$

この微分方程式の解は、$v_y(t) = C_2 \cos(\omega t) + C_3 \sin(\omega t)$

初期条件$v_y(0) = 0$より、$C_2 = 0$なので、$v_y(t) = C_3 \sin(\omega t)$

$\frac{dv_z}{dt} = -\omega v_y = -\omega C_3 \sin(\omega t)$

積分すると、$v_z(t) = C_3 \cos(\omega t) + C_4$

初期条件$v_z(0) = v_1$より、$C_3 + C_4 = v_1$

また、$\frac{dv_y}{dt} = \omega v_z$なので、

$v_y'(t) = C_3 \omega \cos(\omega t) = \omega v_z = \omega (v_1 - C_3 \cos(\omega t))$

よって、$C_3 = v_1$

したがって、$v_y(t) = v_1 \sin(\omega t)$

$v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$

(3)

$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + v_0$

$v_y(t) = v_1 \sin(\omega t)$

$v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$

$x$軸方向には等加速度運動、yz平面内では等速円運動をします。したがって、荷電粒子は螺旋運動をします。

3. 最終的な答え

(1)

$m\frac{dv_x}{dt} = qE_0$

$m\frac{dv_y}{dt} = qv_z B_0$

$m\frac{dv_z}{dt} = -qv_y B_0$

(2)

$v_x(t) = \frac{qE_0}{m}t + v_0$

$v_y(t) = v_1 \sin(\frac{qB_0}{m} t)$

$v_z(t) = v_1 \cos(\frac{qB_0}{m} t)$

(3)

荷電粒子は$x$軸方向に等加速度運動し、$yz$平面内では等速円運動をするので、螺旋運動をする。