与えられた関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の微分を計算して、$y'$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の微分を計算して、$y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則（チェーンルール）を用います。

積の微分法則は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、$(uv)' = u'v + uv'$ となります。

与えられた関数を $u(x) = x$、$v(x) = \sqrt{4-x^2}$ と置くと、

$u'(x) = 1$ となります。

$v(x) = \sqrt{4-x^2} = (4-x^2)^{1/2}$ を微分するために、チェーンルールを使います。

$v'(x) = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

よって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot \left( -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \right)$

$= \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$= \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$