関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x\sqrt{4-x^2}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を利用します。

$u = x$, $v = \sqrt{4-x^2}$ とおくと、

$u' = 1$

$v = \sqrt{4-x^2} = (4-x^2)^{\frac{1}{2}}$ なので、

$v' = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

$y' = \frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2 - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$