問題3の(7)と(8)の式をそれぞれ計算し、簡単にすることを求められています。 (7) $\frac{x+2}{2x^2-x-1} - \frac{4}{x^2+2x-3}$ (8) $\frac{1}{(x-5)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$

1. 問題の内容

問題3の(7)と(8)の式をそれぞれ計算し、簡単にすることを求められています。

(7) $\frac{x+2}{2x^2-x-1} - \frac{4}{x^2+2x-3}$

(8) $\frac{1}{(x-5)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)}$

2. 解き方の手順

(7) まず、分母を因数分解します。

$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

与式は、

$\frac{x+2}{(2x+1)(x-1)} - \frac{4}{(x+3)(x-1)} = \frac{(x+2)(x+3) - 4(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x+3)}$

分子を展開して整理します。

$(x+2)(x+3) - 4(2x+1) = x^2 + 5x + 6 - 8x - 4 = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

よって、

$\frac{(x-1)(x-2)}{(2x+1)(x-1)(x+3)} = \frac{x-2}{(2x+1)(x+3)} = \frac{x-2}{2x^2 + 7x + 3}$

(8) 各項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-5)(x-3)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3})$

$\frac{1}{(x-3)(x-1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1})$

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

これらの和は、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+3})$

$= \frac{1}{2}(\frac{(x+3) - (x-5)}{(x-5)(x+3)}) = \frac{1}{2}(\frac{8}{(x-5)(x+3)}) = \frac{4}{(x-5)(x+3)} = \frac{4}{x^2 -2x - 15}$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{x-2}{2x^2 + 7x + 3}$

(8) $\frac{4}{x^2 - 2x - 15}$