整数 $m, n$ に対して、多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を考えます。 多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で $A$ を割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、 $x = 1 + \sqrt{2}$ のときの $B$ の値を求めます。さらに、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき $A = -1$ となるような整数 $m, n$ の値を求めます。 ただし、商 $Q$ と余り $R$ はそれぞれ $Q=x+(m+ ア ), R=(2m + n + イ )x+(3m+n+ ウ )$と書かれています。

1. 問題の内容

整数 $m, n$ に対して、多項式 $A = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$ を考えます。

多項式 $B = x^2 - 2x - 1$ で $A$ を割ったときの商 $Q$ と余り $R$ を求め、

$x = 1 + \sqrt{2}$ のときの $B$ の値を求めます。さらに、$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき $A = -1$ となるような整数 $m, n$ の値を求めます。

ただし、商 $Q$ と余り $R$ はそれぞれ $Q=x+(m+ ア ), R=(2m + n + イ )x+(3m+n+ ウ )$と書かれています。

2. 解き方の手順

(1) $A$ を $B$ で割ったときの商と余りを求めます。

$A = BQ + R$ となるので、

$x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1 = (x^2 - 2x - 1)(x + (m+a)) + (2m + n + b)x + (3m + n + c)$

右辺を展開して整理すると、

$x^3 + (m+a-2)x^2 + ( -2(m+a) -1 + 2m+n+b)x + ( -(m+a) + 3m+n+c) = x^3 + mx^2 + nx + 2m + n + 1$

係数を比較して、

$m + a - 2 = m$

$-2m - 2a - 1 + 2m + n + b = n$

$-m - a + 3m + n + c = 2m + n + 1$

これより、

$a = 2$

$-2a - 1 + b = 0 \implies b = 2a + 1 = 5$

$-a + c = 1 \implies c = a + 1 = 3$

したがって、$Q = x + (m+2)$, $R = (2m + n + 5)x + (3m + n + 3)$

(2) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$B = x^2 - 2x - 1 = (1+\sqrt{2})^2 - 2(1+\sqrt{2}) - 1 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 0$

(3) $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$A = -1$ であるので、$A(1+\sqrt{2}) = -1$。また、$B(1+\sqrt{2}) = 0$ であるので、

$A = BQ + R$ より、 $A(1+\sqrt{2}) = R(1+\sqrt{2})$。

したがって、$R(1+\sqrt{2}) = -1$。

$(2m + n + 5)(1 + \sqrt{2}) + (3m + n + 3) = -1$

$(2m + n + 5 + 3m + n + 3) + (2m + n + 5)\sqrt{2} = -1$

$(5m + 2n + 8) + (2m + n + 5)\sqrt{2} = -1$

$m, n$ は整数なので、$5m + 2n + 8$ と $2m + n + 5$ も整数である。したがって、

$2m + n + 5 = 0$ かつ $5m + 2n + 8 = -1$ が成り立つ。

$n = -2m - 5$

$5m + 2(-2m - 5) + 8 = -1$

$5m - 4m - 10 + 8 = -1$

$m - 2 = -1$

$m = 1$

$n = -2(1) - 5 = -7$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 5

ウ: 3

エ: 0

オ: 1

カキ: -7