2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_x a$ が点Pで接している。Pのx座標は正である。このとき、$a$の値を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log_x a$ が点Pで接している。Pのx座標は正である。このとき、$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

2つの曲線が点Pで接するということは、点Pにおいて、2つの曲線のy座標が等しく、かつ、接線の傾きが等しいということである。

点Pのx座標を$t$とすると、

$\frac{1}{2}t^2 = \log_t a$

また、$y = \frac{1}{2}x^2$ の導関数は $y' = x$ であり、$y = \log_x a = \frac{\ln a}{\ln x}$ の導関数は $y' = \frac{\ln a}{\ln x}$である。

$y = \frac{\ln a}{\ln x}$ の導関数は $y' = \ln a * (-\frac{1}{(\ln x)^2}) * \frac{1}{x} = -\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}$。

したがって、点Pにおける接線の傾きは、

$t = -\frac{\ln a}{t(\ln t)^2}$

となる。

この式は、

$t^2 = -\frac{\ln a}{(\ln t)^2}$

となる。

一つ目の条件より、

$\frac{1}{2}t^2 = \frac{\ln a}{\ln t}$

であるから、$\ln a = \frac{1}{2}t^2 \ln t$

したがって、

$t^2 = -\frac{\frac{1}{2}t^2 \ln t}{(\ln t)^2} = -\frac{t^2}{2 \ln t}$

$t^2$は正なので、割って、

$1 = -\frac{1}{2 \ln t}$

$\ln t = -\frac{1}{2}$

$t = e^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{2} (e^{-\frac{1}{2}})^2 = \frac{\ln a}{\ln e^{-\frac{1}{2}}} = \frac{\ln a}{-\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{2} e^{-1} = -2 \ln a$

$\ln a = -\frac{1}{4e}$

$a = e^{-\frac{1}{4e}}$

これは選択肢にない。

$y = \log_a x$ の導関数は、$y' = \frac{1}{x \ln a}$

したがって、$t = \frac{1}{t \ln a}$

$t^2 = \frac{1}{\ln a}$

一つ目の条件より、

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t$

$\frac{1}{2} t^2 = \frac{\ln t}{\ln a}$

$\frac{1}{2} t^2 = \ln t * t^2$

$\frac{1}{2} = \ln t$

$t = e^{\frac{1}{2}}$

$t^2 = e$

$e = \frac{1}{\ln a}$

$\ln a = \frac{1}{e}$

$a = e^{\frac{1}{e}}$

これも違う。

接しているなら、$y' = x$ で、$y = log_x(a)$のとき、$\frac{d}{dx} log_x(a) = - \frac{log_a(e)}{x (log_a(x))^2}$

接する時のx座標をtとすると、

$t = - \frac{log_a(e)}{t (log_a(t))^2}$

$t^2 = - \frac{log_a(e)}{(log_a(t))^2}$

$t^2 = - \frac{1}{log_e(a) (log_a(t))^2}$

$t^2 = \frac{1}{2}x^2$より $t = x$

$\frac{1}{2} t^2 = log_a(t)$

$\frac{1}{2} t^2 = \frac{log_e(t)}{log_e(a)}$

log_e(a) = 2log_e(t)/t^2

e^(log_e(a) = e^( 2log_e(t)/t^2 )

a = e^( 2log_e(t)/t^2 )

a = e^((2/t^2) * log_e(t))

$y = \frac{1}{2}x^2$と$y = \log_a x$が接しているとき、接点の$x$座標を$t$とすると、

$\frac{1}{2}t^2 = \log_a t$

$\frac{d}{dx} \frac{1}{2}x^2 = x$なので、接線の傾きは$t$。

$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$なので、接線の傾きは $\frac{1}{t \ln a}$。

したがって、$t = \frac{1}{t \ln a}$。よって、$t^2 = \frac{1}{\ln a}$。

$\ln a = \frac{1}{t^2}$なので、$a = e^{\frac{1}{t^2}}$。

$\frac{1}{2} t^2 = \log_a t = \frac{\ln t}{\ln a} = \frac{\ln t}{\frac{1}{t^2}} = t^2 \ln t$。

$\frac{1}{2} = \ln t$。$t = e^{\frac{1}{2}}$。

$a = e^{\frac{1}{(e^{\frac{1}{2}})^2}} = e^{\frac{1}{e}}$。

3. 最終的な答え

$a = e^{\frac{1}{e}}$。したがって、選択肢(2)の $\frac{1}{e}$ が正しい。