与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (i) $3x^2 - 20x + 12$ (ii) $8x^3 + 1$ (iii) $x^4 + 5x^2 - 36$ (iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(i) $3x^2 - 20x + 12$

(ii) $8x^3 + 1$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

2. 解き方の手順

(i) $3x^2 - 20x + 12$

これは二次式なので、たすき掛けを利用して因数分解します。

$3x^2 - 20x + 12 = (3x - 2)(x - 6)$

(ii) $8x^3 + 1$

これは3乗の和の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $x^4 + 5x^2 - 36$

$x^2 = X$ と置換すると、 $X^2 + 5X - 36$ となり、因数分解できます。

$X^2 + 5X - 36 = (X + 9)(X - 4)$

ここで、$X = x^2$ に戻すと、 $(x^2 + 9)(x^2 - 4)$ となります。

さらに、$x^2 - 4$ は $(x + 2)(x - 2)$ と因数分解できるので、

$(x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$

(iv) $x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

$x$ について整理すると、

$x^2 + (2y - 4)x + (3 - 6y)$

解の公式を用いると、

$x = \frac{-(2y - 4) \pm \sqrt{(2y - 4)^2 - 4(3 - 6y)}}{2} = \frac{-2y + 4 \pm \sqrt{4y^2 - 16y + 16 - 12 + 24y}}{2}$

$= \frac{-2y + 4 \pm \sqrt{4y^2 + 8y + 4}}{2} = \frac{-2y + 4 \pm \sqrt{4(y + 1)^2}}{2} = \frac{-2y + 4 \pm 2(y + 1)}{2}$

$x = -y + 2 \pm (y + 1)$

$x = -y + 2 + y + 1 = 3$ または $x = -y + 2 - y - 1 = -2y + 1$

したがって、$(x - 3)(x + 2y - 1) = x^2 + 2xy - x - 3x - 6y + 3 = x^2 + 2xy - 4x - 6y + 3$

3. 最終的な答え

(i) $(3x - 2)(x - 6)$

(ii) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

(iii) $(x^2 + 9)(x + 2)(x - 2)$

(iv) $(x - 3)(x + 2y - 1)$