与えられた数学の問題は、多項式の計算、展開、簡略化、および無理数の取り扱いに関するものです。具体的には、次の小問に答える必要があります。 (1) $A=x^2-x+1, B=2x^2+x-1$ のとき、$A-3B-[2A+B-3(A+B)]$ を計算し、$x$ についての降べきの順に整理する。 (2) $(x^2-3xy+2y^2)(x^2-5xy-y^2)$ を展開し、$x$ についての降べきの順に整理したときの結果と、$x$ についての多項式の次数を求める。 (3) $\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45}$ を計算する。 (4) $(2-\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})$ を計算する。 (5) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ および $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$, $\sqrt{4+\sqrt{7}}$ を簡単にする。 (6) $\sqrt{18}$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ および $\frac{1}{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、多項式の計算、展開、簡略化、および無理数の取り扱いに関するものです。具体的には、次の小問に答える必要があります。

(1) $A=x^2-x+1, B=2x^2+x-1$ のとき、$A-3B-[2A+B-3(A+B)]$ を計算し、$x$ についての降べきの順に整理する。

(2) $(x^2-3xy+2y^2)(x^2-5xy-y^2)$ を展開し、$x$ についての降べきの順に整理したときの結果と、$x$ についての多項式の次数を求める。

(3) $\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45}$ を計算する。

(4) $(2-\sqrt{5})(3+2\sqrt{5})$ を計算する。

(5) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ および $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$, $\sqrt{4+\sqrt{7}}$ を簡単にする。

(6) $\sqrt{18}$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ および $\frac{1}{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A-3B-[2A+B-3(A+B)]$ を計算します。まず、内側の括弧を展開します。

$3(A+B) = 3(x^2-x+1 + 2x^2+x-1) = 3(3x^2) = 9x^2$.

次に、$2A+B = 2(x^2-x+1) + (2x^2+x-1) = 2x^2-2x+2 + 2x^2+x-1 = 4x^2-x+1$.

したがって、$2A+B-3(A+B) = 4x^2-x+1 - 9x^2 = -5x^2-x+1$.

最後に、$A-3B-[2A+B-3(A+B)] = (x^2-x+1) - 3(2x^2+x-1) - (-5x^2-x+1) = x^2-x+1 - (6x^2+3x-3) + 5x^2+x-1 = x^2-x+1-6x^2-3x+3+5x^2+x-1 = (1-6+5)x^2 + (-1-3+1)x + (1+3-1) = 0x^2 - 3x + 3 = -3x+3$.

(2) $(x^2-3xy+2y^2)(x^2-5xy-y^2)$ を展開します。

$x^4 - 5x^3y - x^2y^2 - 3x^3y + 15x^2y^2 + 3xy^3 + 2x^2y^2 - 10xy^3 - 2y^4 = x^4 - 8x^3y + 16x^2y^2 - 7xy^3 - 2y^4$.

したがって、$x$ についての降べきの順に整理すると $x^4 - 8yx^3 + (16y^2)x^2 + (-7y^3)x - 2y^4$ となり、$x$ についての多項式の次数は4です。

(3) $\sqrt{180} \div \sqrt{12} - \sqrt{12} \times \sqrt{45} = \sqrt{\frac{180}{12}} - \sqrt{12 \times 45} = \sqrt{15} - \sqrt{540} = \sqrt{15} - \sqrt{36 \times 15} = \sqrt{15} - 6\sqrt{15} = -5\sqrt{15}$.

(4) $(2-\sqrt{5})(3+2\sqrt{5}) = 6 + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 2(\sqrt{5})^2 = 6 + \sqrt{5} - 10 = -4 + \sqrt{5}$.

(5) $\sqrt{8+2\sqrt{15}} = \sqrt{5+3+2\sqrt{5 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.

$\sqrt{11-6\sqrt{2}} = \sqrt{9+2-2 \times 3 \times \sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2}$.

$\sqrt{4+\sqrt{7}}$ はこれ以上簡単にできません。

(6) $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$. $\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、 $3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$. したがって、$\sqrt{18}$ の整数部分は4であり、小数部分 $b$ は $3\sqrt{2}-4$ です。

$\frac{1}{b} = \frac{1}{3\sqrt{2}-4} = \frac{3\sqrt{2}+4}{(3\sqrt{2}-4)(3\sqrt{2}+4)} = \frac{3\sqrt{2}+4}{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \frac{3\sqrt{2}+4}{18-16} = \frac{3\sqrt{2}+4}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) ア: $-3x+3$

(2) イ: $x^4 - 8yx^3 + 16y^2x^2 - 7y^3x - 2y^4$, ウ: 4

(3) エ: $-5\sqrt{15}$

(4) オ: $-4 + \sqrt{5}$

(5) カ: $\sqrt{5} + \sqrt{3}$, キ: $3 - \sqrt{2}$, ク: $\sqrt{4+\sqrt{7}}$

(6) ケ: $3\sqrt{2}-4$, コ: $\frac{3\sqrt{2}+4}{2}$