(1) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx + 2$ が異なる2点で交わるような実数 $k$ の範囲を求めよ。 (2) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx + 2$ が異なる2点 P, Q で交わるとき、線分 PQ の中点を R とする。 (i) R の座標 (X, Y) を $k$ を用いて表せ。 (ii) $k$ が変化するとき、R がある2次曲線 C の一部を動く。C を表す方程式を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx + 2$ が異なる2点で交わるような実数 $k$ の範囲を求めよ。

(2) 双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ と直線 $y = kx + 2$ が異なる2点 P, Q で交わるとき、線分 PQ の中点を R とする。

(i) R の座標 (X, Y) を $k$ を用いて表せ。

(ii) $k$ が変化するとき、R がある2次曲線 C の一部を動く。C を表す方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ に直線 $y = kx + 2$ を代入すると、

$x^2 - (kx + 2)^2 = 1$

$x^2 - (k^2x^2 + 4kx + 4) = 1$

$(1-k^2)x^2 - 4kx - 5 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D/4 = (-2k)^2 - (1-k^2)(-5) = 4k^2 + 5 - 5k^2 = -k^2 + 5 > 0$

$k^2 < 5$

$-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

ただし、$1 - k^2 = 0$ つまり $k = \pm 1$ のとき、1次方程式となり解が一つになるので、$k \neq \pm 1$が必要となる。

したがって、$k \neq \pm 1$ かつ $-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$

また、$k = \pm \sqrt{5}$ では接するので除外する。

(2)

(i) 2点 P, Q の x 座標をそれぞれ $x_1, x_2$ とすると、R の x 座標 X は、

$X = \frac{x_1 + x_2}{2}$

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = \frac{4k}{1-k^2}$ であるから、

$X = \frac{2k}{1-k^2}$

同様に、P, Q の y 座標をそれぞれ $y_1, y_2$ とすると、R の y 座標 Y は、

$Y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{(kx_1 + 2) + (kx_2 + 2)}{2} = \frac{k(x_1 + x_2) + 4}{2} = \frac{k(\frac{4k}{1-k^2}) + 4}{2}$

$Y = \frac{\frac{4k^2}{1-k^2} + 4}{2} = \frac{4k^2 + 4(1-k^2)}{2(1-k^2)} = \frac{4}{2(1-k^2)} = \frac{2}{1-k^2}$

(ii) $X = \frac{2k}{1-k^2}$, $Y = \frac{2}{1-k^2}$ より、$Y = \frac{X}{k}$　から$k = \frac{X}{Y}$。

$Y = \frac{2}{1-(\frac{X}{Y})^2} = \frac{2}{1-\frac{X^2}{Y^2}} = \frac{2Y^2}{Y^2 - X^2}$

$Y^2 - X^2 = 2Y$

$X^2 - Y^2 + 2Y = 0$

$X^2 - (Y^2 - 2Y + 1) + 1 = 0$

$X^2 - (Y - 1)^2 = -1$

したがって、

$x^2 - (y-1)^2 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{5} < k < -1$, $-1 < k < 1$, $1 < k < \sqrt{5}$

(2) (i) $X = \frac{2k}{1-k^2}$, $Y = \frac{2}{1-k^2}$

(ii) $x^2 - (y-1)^2 = -1$

問題文中の空欄を埋めることを考えると

(1) $-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}$ ($k \neq \pm 1$) よって 1 は 5, 2 は 5, 3 は 1

(2) (i) $X = \frac{4k}{2(1-k^2)}$, $Y = \frac{4}{2(1-k^2)}$ よって 4 は 2, 5 は 1, 6 は 2, 7 は 1

(ii) $x^2 - (y-1)^2 = -1$ より、8 は 1, 9 は -1