長さ1.7 m、直径60 mmの棒を0.8°ねじったとき、20 MPaのねじり応力が生じた。棒の横弾性係数を求める。

1. 問題の内容

長さ1.7 m、直径60 mmの棒を0.8°ねじったとき、20 MPaのねじり応力が生じた。棒の横弾性係数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ねじれ角を度からラジアンに変換する。

$0.8^\circ = 0.8 \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad} = 0.8 \times \frac{3.14}{180} \, \text{rad}$

次に、横弾性係数Gを求める公式を使う。ねじり応力 $\tau$ と横弾性係数Gの関係は

$\tau = G \frac{d \cdot \theta}{2l}$

である。これをGについて解くと、

$G = \tau \frac{2l}{d \cdot \theta}$

となる。

ここで、$\tau = 20 \, \text{MPa}$, $l = 1.7 \, \text{m} = 1700 \, \text{mm}$, $d = 60 \, \text{mm}$, $\theta = 0.8 \times \frac{\pi}{180} \, \text{rad}$ を代入する。

$G = 20 \times \frac{2 \times 1700}{60 \times 0.8 \times \frac{\pi}{180}} = 20 \times \frac{2 \times 1700 \times 180}{60 \times 0.8 \times \pi}$

$G = 20 \times \frac{2 \times 1700 \times 180}{60 \times 0.8 \times 3.14} \approx 20 \times \frac{612000}{150.72} \approx 20 \times 4059.8 \approx 81196$

したがって、$G \approx 81196 \, \text{MPa} \approx 81.2 \, \text{GPa}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0.8^\circ = (0.8) \times (\frac{\pi}{180}) \, \text{rad} = (0.01396) \, \text{rad}$

$G = \tau \frac{2l}{d \cdot \theta} = (20) \times (\frac{2 \times 1700}{60 \times 0.01396}) = 20 \times (4053.15)$

$G = 81063 \, \text{MPa} = 81.063 \, \text{GPa}$

答え: 81063 MPa、81.063 GPa