(1) 不等式 $1 \le \log_2(x+1) - \log_2(x-1) \le 2$ の解を求める。 (2) 2点 A(-1, 4), B(2, 1) に対して、AP : BP = 2 : 1 を満たす点 P の軌跡は円となる。円の中心と半径を求める。また、その円と直線 $y = -x + k$ が接するときの $k$ の値を求める。 (3) 2点 (2, 0, 1), (1, 1, 2) を通る直線がある。原点 O からこの直線に下ろした垂線の足を A とする。点Aの座標と原点から点Aまでの距離を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $1 \le \log_2(x+1) - \log_2(x-1) \le 2$ の解を求める。

(2) 2点 A(-1, 4), B(2, 1) に対して、AP : BP = 2 : 1 を満たす点 P の軌跡は円となる。円の中心と半径を求める。また、その円と直線 $y = -x + k$ が接するときの $k$ の値を求める。

(3) 2点 (2, 0, 1), (1, 1, 2) を通る直線がある。原点 O からこの直線に下ろした垂線の足を A とする。点Aの座標と原点から点Aまでの距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $1 \le \log_2(x+1) - \log_2(x-1) \le 2$ を解く。

まず、真数条件より $x+1 > 0$ かつ $x-1 > 0$ なので、$x > 1$。

不等式を変形すると、

$1 \le \log_2\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \le 2$

各辺を 2 の指数とすると、

$2^1 \le \frac{x+1}{x-1} \le 2^2$

$2 \le \frac{x+1}{x-1} \le 4$

まず、$2 \le \frac{x+1}{x-1}$ を解く。

$2(x-1) \le x+1$

$2x - 2 \le x + 1$

$x \le 3$

次に、$\frac{x+1}{x-1} \le 4$ を解く。

$x+1 \le 4(x-1)$

$x+1 \le 4x - 4$

$5 \le 3x$

$x \ge \frac{5}{3}$

したがって、$\frac{5}{3} \le x \le 3$

(2) AP : BP = 2 : 1 より、AP = 2BP

点Pの座標を(x, y)とすると、

$\sqrt{(x+1)^2 + (y-4)^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}$

両辺を2乗して、

$(x+1)^2 + (y-4)^2 = 4((x-2)^2 + (y-1)^2)$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + 2x + y^2 - 8y + 17 = 4x^2 - 16x + 4y^2 - 8y + 20$

$3x^2 - 18x + 3y^2 + 3 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 + 1 = 0$

$(x-3)^2 + y^2 = 8$

したがって、中心は (3, 0)、半径は $2\sqrt{2}$

円 $(x-3)^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = -x + k$ が接するとき、円の中心(3, 0)から直線 $x+y-k=0$ までの距離が半径 $2\sqrt{2}$ に等しい。

$\frac{|3+0-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 2\sqrt{2}$

$|3-k| = 2\sqrt{2}\sqrt{2} = 4$

$3-k = \pm 4$

$k = 3 \pm 4$

$k = 7, -1$

(3) 2点 (2, 0, 1), (1, 1, 2) を通る直線の方程式を求める。

方向ベクトルは (1-2, 1-0, 2-1) = (-1, 1, 1)

したがって、直線の方程式は

$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1} = t$ とおくと、

$x = -t + 2, y = t, z = t + 1$

原点から直線に下ろした垂線の足 A は、( $-t+2, t, t+1$ )

ベクトル OA = ( $-t+2, t, t+1$ )

方向ベクトル (-1, 1, 1) と OA が直交するので、内積は 0

$(-1)(-t+2) + (1)(t) + (1)(t+1) = 0$

$t - 2 + t + t + 1 = 0$

$3t - 1 = 0$

$t = \frac{1}{3}$

したがって、A の座標は $(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3})$

原点から A までの距離は

$\sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{25+1+16}{9}} = \sqrt{\frac{42}{9}} = \sqrt{\frac{14}{3}} = \frac{\sqrt{42}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{3} \le x \le 3$

(2) 中心 (3, 0)、半径 $2\sqrt{2}$、 $k = 7, -1$

(3) A の座標 $(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3})$、 原点から A までの距離 $\frac{\sqrt{42}}{3}$