長さ0.8mの軸のねじれ角が0.2°で、ねじり応力が10MPaであった。このときのせん断ひずみと軸の直径を求めなさい。ただし、横弾性係数を78GPaとする。

1. 問題の内容

長さ0.8mの軸のねじれ角が0.2°で、ねじり応力が10MPaであった。このときのせん断ひずみと軸の直径を求めなさい。ただし、横弾性係数を78GPaとする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報を整理します。

- 軸の長さ $l = 0.8 \text{ m}$

- ねじれ角 $\theta = 0.2^\circ$

- ねじり応力 $\tau = 10 \text{ MPa}$

- 横弾性係数 $G = 78 \text{ GPa}$

まず、ねじれ角をラジアンに変換します。

$\theta \text{ [rad]} = 0.2^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{0.2\pi}{180} = \frac{\pi}{900} \text{ rad}$

次に、せん断ひずみ $\gamma$ を求めます。

問題文中のヒントより、$\tau = G\gamma$の関係があります。

したがって、$\gamma = \frac{\tau}{G}$となります。

ここで、$G$ の単位を MPa に変換します。

$G = 78 \text{ GPa} = 78 \times 10^3 \text{ MPa}$

よって、せん断ひずみ $\gamma$ は

$\gamma = \frac{10 \text{ MPa}}{78 \times 10^3 \text{ MPa}} = \frac{1}{7800}$

次に、軸の直径 $d$ を求めます。

問題文中のヒントより、$\gamma = \frac{d \cdot \theta}{2l}$の関係があります。

したがって、$d = \frac{2l \gamma}{\theta}$となります。

$d = \frac{2 \times 0.8 \text{ m} \times \frac{1}{7800}}{\frac{\pi}{900}} = \frac{1.6}{7800} \times \frac{900}{\pi} = \frac{1.6 \times 900}{7800 \times \pi} = \frac{1440}{7800 \pi} = \frac{144}{780\pi} = \frac{12}{65\pi} \text{ m}$

$d = \frac{12}{65\pi} \times 1000 \text{ mm} \approx 58.77 \text{ mm}$

3. 最終的な答え

せん断ひずみ: $\gamma = \frac{1}{7800}$

軸の直径: $d \approx 58.77 \text{ mm}$