数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 3$ です。自然数 $n$ に対して、2点 $(0, 2)$, $(a_n, 0)$ を通る直線と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とします。このとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す。 (2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。 (3) $a_n$ を $n$ で表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 3$ です。自然数 $n$ に対して、2点 $(0, 2)$, $(a_n, 0)$ を通る直線と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とします。このとき、以下の問いに答えます。

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す。

(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

(3) $a_n$ を $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $(0, 2)$, $(a_n, 0)$ を通る直線の方程式は、

$\frac{x}{a_n} + \frac{y}{2} = 1$

$y = -\frac{2}{a_n} x + 2$

この直線と $y = x$ の交点の $x$ 座標が $a_{n+1}$ なので、

$a_{n+1} = -\frac{2}{a_n} a_{n+1} + 2$

$a_{n+1}(1 + \frac{2}{a_n}) = 2$

$a_{n+1} (\frac{a_n + 2}{a_n}) = 2$

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$

$a_{n+1} = \frac{2 a_n}{a_n + 2} = \frac{1}{\frac{a_n+2}{2 a_n}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}}$

したがって、$a_{n+1} = \frac{1}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$

(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$.

よって、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

$b_{n+1} = \frac{a_n+2}{2 a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

(3) $b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{3}$ であり、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$ より、$\{b_n\}$ は初項 $\frac{1}{3}$、公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列。

$b_n = \frac{1}{3} + (n-1) \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2+3n-3}{6} = \frac{3n-1}{6}$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{6}{3n-1} = \frac{6}{3n - 1}$

$a_n = \frac{6}{3n-1}$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられ、$a_1 = 3$。2点 $(0, 2), (a_n, 0)$ を通る直線と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標を $a_{n+1}$ とする。

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す。

(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

(3) $a_n$ を $n$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+2}$

2点$(0, 2)$と$(a_n, 0)$を通る直線の方程式は、$\frac{x}{a_n}+\frac{y}{2}=1$。

$y = -\frac{2}{a_n}x+2$

この直線と$y=x$の交点のx座標が$a_{n+1}$なので、$a_{n+1} = -\frac{2}{a_n}a_{n+1}+2$。

$a_{n+1} + \frac{2}{a_n}a_{n+1} = 2$

$a_{n+1}(\frac{a_n+2}{a_n}) = 2$

$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n+2}$

(2) $b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

$b_n = \frac{1}{a_n}$とすると、$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n+2}{2a_n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + b_n$。

したがって、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$。

(3) $a_n = \frac{6}{3n-1}$

$b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{3}$であり、$b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2}$より、$\{b_n\}$は初項$\frac{1}{3}$、公差$\frac{1}{2}$の等差数列。

$b_n = \frac{1}{3}+(n-1)\frac{1}{2} = \frac{1}{3}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2} = \frac{2+3n-3}{6} = \frac{3n-1}{6}$。

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{6}{3n-1}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$

(2) $b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{6}{3n - 1}$

したがって、(3)の答えは、$a_n=\frac{4}{5n-6}$ではなく、$a_n = \frac{6}{3n - 1}$ です。

(1) $\frac{2 a_n}{a_n + 2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{6}{3n - 1}$

したがって、(3)の箱に当てはまる数字は、6,3,-1

4

5, n, -6ではない。

最終的な答え

(1) $a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$

(2) $b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{6}{3n - 1}$