絵の中に円と四角形が描かれており、小石を落としたときの条件付き確率に関する問題です。 具体的には、 (1) 与えられた条件を条件付き確率の記号で表現する。 (2) 円の中に小石が落ちたという条件の下で、小石が四角形の中にも落ちる条件付き確率が与えられたとき、小石が円の中だが四角形の中ではないという条件の下で着色されている条件付き確率を求める。 (3) 小石が四角形の中だが円の中ではないという条件の下で着色されている条件付き確率が与えられたとき、四角形の中に小石が落ちたという条件の下で小石が円の中でもある条件付き確率を求める。 (4) 円または四角形の中に小石が落ちたという条件の下で着色されている条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

絵の中に円と四角形が描かれており、小石を落としたときの条件付き確率に関する問題です。

具体的には、

(1) 与えられた条件を条件付き確率の記号で表現する。

(2) 円の中に小石が落ちたという条件の下で、小石が四角形の中にも落ちる条件付き確率が与えられたとき、小石が円の中だが四角形の中ではないという条件の下で着色されている条件付き確率を求める。

(3) 小石が四角形の中だが円の中ではないという条件の下で着色されている条件付き確率が与えられたとき、四角形の中に小石が落ちたという条件の下で小石が円の中でもある条件付き確率を求める。

(4) 円または四角形の中に小石が落ちたという条件の下で着色されている条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 条件付き確率の記号を使って条件(i), (ii), (iii)を表現します。

* 条件(i): $P(C|A) = \frac{3}{7}$

* 条件(ii): $P(C|B) = \frac{4}{7}$

* 条件(iii): $P(C|A \cap B) = \frac{3}{7}$

(2) $P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$が与えられています。求めるのは$P(C|A \cap B^c)$です。

$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)} = \frac{3}{7}$より、$P(C \cap A) = \frac{3}{7}P(A)$です。

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ なので、$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$.

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\sqrt{2}}{9}$ なので、$P(A \cap B) = \frac{\sqrt{2}}{9}P(A)$.

したがって、$P(A \cap B^c) = P(A) - \frac{\sqrt{2}}{9}P(A) = (1 - \frac{\sqrt{2}}{9})P(A)$.

$P(C \cap A) = P(C \cap A \cap B) + P(C \cap A \cap B^c)$ なので、$P(C \cap A \cap B^c) = P(C \cap A) - P(C \cap A \cap B)$.

$P(C|A \cap B) = \frac{P(C \cap A \cap B)}{P(A \cap B)} = \frac{3}{7}$ より、$P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B) = \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{9}P(A) = \frac{\sqrt{2}}{21}P(A)$.

$P(C \cap A \cap B^c) = \frac{3}{7}P(A) - \frac{\sqrt{2}}{21}P(A) = (\frac{9-\sqrt{2}}{21})P(A)$.

よって、$P(C|A \cap B^c) = \frac{P(C \cap A \cap B^c)}{P(A \cap B^c)} = \frac{(\frac{9-\sqrt{2}}{21})P(A)}{(1 - \frac{\sqrt{2}}{9})P(A)} = \frac{9-\sqrt{2}}{21} \cdot \frac{9}{9-\sqrt{2}} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(3) $P(C|B \cap A^c) = \frac{25}{42}$が与えられています。求めるのは$P(A \cap B | B)$です。

$P(A \cap B | B) = \frac{P(A \cap B \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

$P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B)$なので、$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.

$P(C|B \cap A^c) = \frac{P(C \cap B \cap A^c)}{P(B \cap A^c)} = \frac{25}{42}$なので、$P(C \cap B \cap A^c) = \frac{25}{42}P(B \cap A^c) = \frac{25}{42}[P(B) - P(A \cap B)]$.

$P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{4}{7}$より、$P(C \cap B) = \frac{4}{7}P(B)$.

$P(C \cap B) = P(C \cap B \cap A) + P(C \cap B \cap A^c)$なので、$P(C \cap B \cap A) = P(C \cap B) - P(C \cap B \cap A^c)$.

$P(C|A \cap B) = \frac{3}{7}$より、$P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B)$.

したがって、$P(C \cap B \cap A) = \frac{4}{7}P(B) - \frac{25}{42}[P(B) - P(A \cap B)] = \frac{24}{42}P(B) - \frac{25}{42}P(B) + \frac{25}{42}P(A \cap B) = -\frac{1}{42}P(B) + \frac{25}{42}P(A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B)$.

$-\frac{1}{42}P(B) + \frac{25}{42}P(A \cap B) = \frac{18}{42}P(A \cap B)$なので、$P(B) = 7P(A \cap B)$.

よって、$P(A \cap B | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{7P(A \cap B)} = \frac{1}{7}$.

(4) 求めるのは$P(C|A \cup B)$です。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

$P(C|A \cup B) = \frac{P(C \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P((C \cap A) \cup (C \cap B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(C \cap A) + P(C \cap B) - P(C \cap A \cap B)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$.

$P(C \cap A) = \frac{3}{7}P(A)$, $P(C \cap B) = \frac{4}{7}P(B)$, $P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B)$なので、$P(C|A \cup B) = \frac{\frac{3}{7}P(A) + \frac{4}{7}P(B) - \frac{3}{7}P(A \cap B)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{3P(A) + 4P(B) - 3P(A \cap B)}{7(P(A) + P(B) - P(A \cap B))}$.

$P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$より、$P(A \cap B) = \frac{\sqrt{2}}{9}P(A)$.

$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$、$P(C|A^c \cap B) = \frac{25}{42}$より、$P(C \cap A^c \cap B) = \frac{25}{42}(P(B) - P(A \cap B))$.

$P(C \cap B) = P(C \cap A \cap B) + P(C \cap A^c \cap B) = \frac{4}{7}P(B)$.

$\frac{3}{7}P(A \cap B) + \frac{25}{42}(P(B) - P(A \cap B)) = \frac{4}{7}P(B)$.

$\frac{18}{42}P(A \cap B) + \frac{25}{42}P(B) - \frac{25}{42}P(A \cap B) = \frac{24}{42}P(B)$.

$-\frac{7}{42}P(A \cap B) = -\frac{1}{42}P(B)$なので、$P(B) = 7P(A \cap B) = 7\cdot\frac{\sqrt{2}}{9}P(A) = \frac{7\sqrt{2}}{9}P(A)$.

$P(C|A \cup B) = \frac{3P(A) + 4\cdot\frac{7\sqrt{2}}{9}P(A) - 3\cdot\frac{\sqrt{2}}{9}P(A)}{7(P(A) + \frac{7\sqrt{2}}{9}P(A) - \frac{\sqrt{2}}{9}P(A))} = \frac{3 + \frac{28\sqrt{2}}{9} - \frac{3\sqrt{2}}{9}}{7(1+\frac{6\sqrt{2}}{9})} = \frac{27 + 25\sqrt{2}}{63(1+\frac{2\sqrt{2}}{3})} = \frac{27 + 25\sqrt{2}}{63 + 42\sqrt{2}} = \frac{(27 + 25\sqrt{2})(63-42\sqrt{2})}{(63 + 42\sqrt{2})(63 - 42\sqrt{2})} = \frac{1701 - 1134\sqrt{2} + 1575\sqrt{2} - 2100}{3969 - 3528} = \frac{-399 + 441\sqrt{2}}{441} = \frac{-19 + 21\sqrt{2}}{21}$.

3. 最終的な答え

(1)

* $P(C|A) = \frac{3}{7}$

* $P(C|B) = \frac{4}{7}$

* $P(C|A \cap B) = \frac{3}{7}$

(2)

* $\frac{3}{7}$

(3)

* $\frac{1}{7}$

(4)

* $\frac{-19 + 21\sqrt{2}}{21}$