男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるかを求める問題です。 (1) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方の総数を求める。 (2) 少なくとも1人は女子である選び方の総数を求める。

1. 問題の内容

男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるかを求める問題です。

(1) 男子2人、女子2人を選ぶ選び方の総数を求める。

(2) 少なくとも1人は女子である選び方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人、女子2人を選ぶ場合

男子6人から2人を選ぶ組み合わせの数は、組み合わせの公式を用いて

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

女子4人から2人を選ぶ組み合わせの数は、組み合わせの公式を用いて

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

よって、男子2人、女子2人を選ぶ組み合わせの総数は、積の法則より

$15 \times 6 = 90$通り

(2) 少なくとも1人は女子である場合

全体の場合の数から女子が1人もいない場合（全員男子の場合）を引くことで求めることができます。

全体の場合の数は、10人から4人を選ぶ組み合わせなので

$_{10}C_{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$通り

全員男子の場合の数は、男子6人から4人を選ぶ組み合わせなので

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

よって、少なくとも1人は女子である組み合わせの総数は

$210 - 15 = 195$通り

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 195通り