異なる6個の宝石があるとき、以下の問いに答える。 (1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。 (3) 6個の宝石から4個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

異なる6個の宝石があるとき、以下の問いに答える。

(1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらの宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。

(3) 6個の宝石から4個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の公式を使う。n個のものを円形に並べる方法は $(n-1)!$ 通りである。

したがって、6個の宝石を円形に並べる方法は $(6-1)! = 5!$ 通りである。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 首飾りは裏返すことができるので、円順列の半分になる。

したがって、6個の宝石で首飾りを作る方法は $\frac{(6-1)!}{2} = \frac{5!}{2}$ 通りである。

$\frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60$

(3) まず6個から4個を選ぶ組み合わせを求める。これは ${}_6 C_4$ で表される。

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

次に、選んだ4個の宝石を円形に並べる方法を求める。これは $(4-1)! = 3!$ 通りである。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

したがって、6個から4個を選び円形に並べる方法は $15 \times 6 = 90$ 通りである。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 60種類

(3) 90通り