袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカードが、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから1枚、袋Bから1枚カードを取り出し、それぞれ書かれた数をa, bとする。 (1) $a+b=2$となる確率を求めよ。 (2) $a+b=3$となる確率を求めよ。また、$a+b$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカードが、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから1枚、袋Bから1枚カードを取り出し、それぞれ書かれた数をa, bとする。

(1) $a+b=2$となる確率を求めよ。

(2) $a+b=3$となる確率を求めよ。また、$a+b$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a+b=2$となるのは、$a=1$かつ$b=1$のときのみである。

袋Aで1を引く確率は$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、袋Bで1を引く確率は$\frac{1}{4}$なので、

$a+b=2$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(2) $a+b=3$となるのは、以下の2つの場合である。

(i) $a=1$かつ$b=2$

(ii) $a=2$かつ$b=1$

(i)の確率は、袋Aで1を引く確率$\frac{1}{2}$と袋Bで2を引く確率$\frac{1}{4}$の積で、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(ii)の確率は、袋Aで2を引く確率$\frac{1}{2}$と袋Bで1を引く確率$\frac{1}{4}$の積で、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

したがって、$a+b=3$となる確率は、$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

次に、$a+b$の期待値を求める。

$a+b$がとりうる値は2, 3, 4, 5である。

$a+b=2$の確率は$\frac{1}{8}$

$a+b=3$の確率は$\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$

$a+b=4$となるのは、$a=1$かつ$b=3$または、$a=2$かつ$b=2$のときである。

$a=1$かつ$b=3$の確率は$\frac{1}{2}\times\frac{2}{4}=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$

$a=2$かつ$b=2$の確率は$\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$

よって、$a+b=4$の確率は$\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

$a+b=5$となるのは、$a=2$かつ$b=3$のときである。その確率は$\frac{1}{2}\times\frac{2}{4}=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$

したがって、$a+b$の期待値は

$2\times\frac{1}{8} + 3\times\frac{2}{8} + 4\times\frac{3}{8} + 5\times\frac{2}{8} = \frac{2+6+12+10}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{1}{4}$, 期待値: $\frac{15}{4}$