1から6の番号が書かれた6つの座席に、大人3人（A, B, C）と子供3人（d, e, f）が1人ずつ座る。 (1) 6人の座り方は全部で何通りあるか。 (2) 大人3人が奇数の番号の座席に、子供3人が偶数の番号の座席に座るような座り方は全部で何通りあるか。また、Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列の座席に座るような座り方は全部で何通りあるか。 (3) 大人が座る3つの座席に書かれた番号のうち、最も大きい番号が奇数であるような座り方は全部で何通りあるか。また、このうち、どの列にも子供が1人ずつ座るような座り方は全部で何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

1から6の番号が書かれた6つの座席に、大人3人（A, B, C）と子供3人（d, e, f）が1人ずつ座る。

(1) 6人の座り方は全部で何通りあるか。

(2) 大人3人が奇数の番号の座席に、子供3人が偶数の番号の座席に座るような座り方は全部で何通りあるか。また、Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列の座席に座るような座り方は全部で何通りあるか。

(3) 大人が座る3つの座席に書かれた番号のうち、最も大きい番号が奇数であるような座り方は全部で何通りあるか。また、このうち、どの列にも子供が1人ずつ座るような座り方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6人の座り方の場合の数

6つの座席に6人が座るので、これは6人の順列を考えることになります。

したがって、座り方は $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ 通り。

(2) 大人と子供の座席の条件を満たす座り方の場合の数

奇数の番号の座席は1, 3, 5の3つ、偶数の番号の座席は2, 4, 6の3つです。

大人3人が奇数の座席に座る座り方は $3!$ 通り。

子供3人が偶数の座席に座る座り方は $3!$ 通り。

したがって、求める座り方は $3! \times 3! = (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)$ 通り。

Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列に座る座り方の場合の数

A, dが同じ列、B, eが同じ列、C, fが同じ列となる座り方を考えます。

各列には2つの座席があります。

まず、A, B, Cがどの列に座るかを決めます。これは3!通りです。

それぞれの列の中で、Aが上か下かを決めると2通りあります。同様に、Bが上か下か、Cが上か下かを決めるのもそれぞれ2通りです。

したがって、求める座り方は $3! \times 2 \times 2 \times 2 = (3 \times 2 \times 1) \times 8$ 通り。

(3) 大人が座る座席番号の最大値が奇数の場合の数

大人が座る3つの座席番号の最大値が奇数になるのは、以下の2つのケースに分けられます。

* Case 1: 大人の座席がすべて奇数 (1, 3, 5)。

* Case 2: 大人の座席に奇数が2つ、偶数が1つ。最大値は奇数。

Case 1の場合：奇数3つから3つを選ぶ選び方は1通り。大人の座り方は $3!$通り。子供は残りの3席に座るので$3!$通り。よって$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$通り。

Case 2の場合：奇数から2つ、偶数から1つ選ぶ。奇数の選び方は ${}_3C_2 = 3$通り。偶数の選び方は ${}_3C_1 = 3$通り。したがって座席の選び方は$3 \times 3 = 9$通り。大人の座り方は$3!$通り。子供は残りの3席に座るので$3!$通り。しかし、このうち、大人が座る最大の座席番号が奇数にならないパターンを除く必要がある。選んだ偶数が6の場合に、大人が座る。この場合は6が最大になるので、条件を満たさない。6を選ばない場合は3と5が大人の席になる。

この計算方法では複雑になるため、別の方法で計算する。

大人が座る座席番号の最大値が奇数である条件を満たす座り方:

6つの座席から3つを選び、そのうち最大が奇数となる組み合わせを考える。

最大が5の場合、残りの2つは1, 2, 3, 4の中から選ぶ。${}_4C_2 = 6$通り。

最大が3の場合、残りの2つは1, 2の中から選ぶ。${}_2C_2 = 1$通り。

最大が1の場合は存在しない。

よって選ぶ組み合わせは$6+1=7$通り。

大人と子供の並び順は$3! \times 3! = 36$通り。

したがって、$7 \times 36 = 252$通り。

どの列にも子供が1人ずつ座る座り方

どの列にも子供が1人ずつ座る場合、各列には大人1人、子供1人が座ることになります。

まず、子供の座る列の組み合わせを考えます。子供がどの列に座るかを決めると、大人が座る列も決まります。

各列から１つずつの座席を選び、子供を配置する方法は $2 \times 2 \times 2 = 8$通り。

子供の並び方は $3! = 6$通り。大人の並び方は $3! = 6$通り。

従って、$8 \times 6 \times 6 = 288$通り。

ただし、このうち大人が座る座席番号の最大値が奇数の場合のみを考えます。

大人が座る座席番号の最大値が奇数の場合、大人の座る席の組み合わせは、{1, x, 5}または{1, 3, x}の形である必要があります。(xは2, 4, 6のどれか)

組み合わせは少ないので全列挙します。

1. 1,2,3

2. 1,2,5

3. 1,2,6

4. 1,3,4

5. 1,3,5

6. 1,3,6

7. 1,4,5

8. 1,4,6

9. 1,5,6

1

0. 2,3,4

1

1. 2,3,5

1

2. 2,3,6

1

3. 2,4,5

1

4. 2,4,6

1

5. 2,5,6

1

6. 3,4,5

1

7. 3,4,6

1

8. 3,5,6

1

9. 4,5,6

最大値が奇数になるのは2, 5, 5, 5, 5, 3, 5, 11個である。

よって、$2 \times 2 \times 2 \times 3! \times 3! = 288$

$3! \times 3! \times 8$

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 36通り、48通り

(3) 252通り、288通り