与えられた回路について、以下の問題を解く。 (1) 網目 $M_1$ と $M_2$ に対するキルヒホッフの電圧則 (KVL) 方程式を求める。 (2) 節点 $a$ に対するキルヒホッフの電流則 (KCL) 方程式を求める。 (3) $E_a = 2$ [V], $E_b = -7$ [V], $R_1 = 5$ [Ω], $R_2 = 2$ [Ω], $R_3 = 3$ [Ω] のときの $i_3$ の値を求める。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた回路について、以下の問題を解く。

(1) 網目 $M_1$ と $M_2$ に対するキルヒホッフの電圧則 (KVL) 方程式を求める。

(2) 節点 $a$ に対するキルヒホッフの電流則 (KCL) 方程式を求める。

(3) $E_a = 2$ [V], $E_b = -7$ [V], $R_1 = 5$ [Ω], $R_2 = 2$ [Ω], $R_3 = 3$ [Ω] のときの $i_3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 網目 $M_1$ と $M_2$ に対する KVL 方程式

* **網目 $M_1$**

電源 $E_a$ 、抵抗 $R_1$ 、 $R_3$ を含む閉回路について、電圧降下の合計は 0 である。電流の向きを考慮すると、以下の式が得られる。

$E_a - R_1 i_1 - R_3 i_3 = 0$

* **網目 $M_2$**

電源 $E_b$ 、抵抗 $R_2$ 、 $R_3$ を含む閉回路について、電圧降下の合計は 0 である。電流の向きを考慮すると、以下の式が得られる。

$-E_b - R_2 i_2 + R_3 i_3 = 0$

(2) 節点 $a$ に対する KCL 方程式

節点 $a$ に流れ込む電流の合計は、流れ出す電流の合計と等しい。したがって、以下の式が得られる。

$i_1 = i_2 + i_3$

(3) $i_3$ の値の算出

上記で得られた KVL 方程式と KCL 方程式を連立させて $i_3$ の値を求める。

* KVL 方程式を整理する。

$R_1 i_1 + R_3 i_3 = E_a$

$R_2 i_2 - R_3 i_3 = -E_b$

* KCL 方程式を代入する。$i_1 = i_2 + i_3$ を最初の KVL 方程式に代入する。

$R_1 (i_2 + i_3) + R_3 i_3 = E_a$

$R_1 i_2 + (R_1 + R_3) i_3 = E_a$

* 連立方程式を解く。

$R_1 i_2 + (R_1 + R_3) i_3 = E_a$

$R_2 i_2 - R_3 i_3 = -E_b$

$i_2$ を消去するために、1つ目の式に $R_2$ を、2つ目の式に $R_1$ を掛ける。

$R_1 R_2 i_2 + R_2 (R_1 + R_3) i_3 = R_2 E_a$

$R_1 R_2 i_2 - R_1 R_3 i_3 = -R_1 E_b$

1つ目の式から2つ目の式を引く。

$[R_2 (R_1 + R_3) + R_1 R_3] i_3 = R_2 E_a + R_1 E_b$

$[R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3] i_3 = R_2 E_a + R_1 E_b$

$i_3 = \frac{R_2 E_a + R_1 E_b}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

* 値を代入する。

$i_3 = \frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot (-7)}{5 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 5 \cdot 3} = \frac{4 - 35}{10 + 6 + 15} = \frac{-31}{31} = -1$ [A]

3. 最終的な答え

$i_3 = -1$ [A]