与えられた数式 $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、数式を展開します。

$x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y = x^2y - x^2 + xy^2 - y^2 - 2xy + x + y$

次に、同類項をまとめます。

$x^2y - x^2 + xy^2 - y^2 - 2xy + x + y = x^2y + xy^2 - x^2 - y^2 - 2xy + x + y$

さらに、式を整理して、因数分解しやすい形に並べ替えます。

$x^2y + xy^2 - x^2 - y^2 - 2xy + x + y = xy(x+y) - (x^2 + 2xy + y^2) + (x+y)$

ここで、$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ であることを利用します。

$xy(x+y) - (x^2 + 2xy + y^2) + (x+y) = xy(x+y) - (x+y)^2 + (x+y)$

$(x+y)$を共通因数としてくくり出します。

$xy(x+y) - (x+y)^2 + (x+y) = (x+y)(xy - (x+y) + 1)$

最後に、括弧の中身を整理します。

$(x+y)(xy - (x+y) + 1) = (x+y)(xy - x - y + 1)$

さらに、括弧の中身を因数分解します。

$(x+y)(xy - x - y + 1) = (x+y)(x(y-1) - (y-1)) = (x+y)(x-1)(y-1)$

3. 最終的な答え

$(x+y)(x-1)(y-1)$