$x^6 - 64$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

$x^6 - 64$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^6$ と $64$ をそれぞれ $a^2$ と $b^2$ の形に変形することを考えます。

$x^6 = (x^3)^2$ および $64 = 8^2$ であるから、$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2$ と書けます。

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を用いて因数分解できます。

$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 + 8)(x^3 - 8)$

次に、$x^3 + 8$ と $x^3 - 8$ をそれぞれ因数分解します。

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ および $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ と書けます。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ および $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

したがって、

$x^6 - 64 = (x^3 + 8)(x^3 - 8) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-2)(x^2 + 2x + 4)$

整理すると、

$x^6 - 64 = (x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$