正の整数を5進法で表すと3桁の数$abc_{(5)}$となり、これを3倍して9進法に直すと3桁の数$cba_{(9)}$になる。このような条件を満たす整数を10進法で表せ。

1. 問題の内容

正の整数を5進法で表すと3桁の数$abc_{(5)}$となり、これを3倍して9進法に直すと3桁の数$cba_{(9)}$になる。このような条件を満たす整数を10進法で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$abc_{(5)}$と$cba_{(9)}$を10進法で表す。

$abc_{(5)}$を10進法で表すと、$25a + 5b + c$となる。

$cba_{(9)}$を10進法で表すと、$81c + 9b + a$となる。

問題文より、$3(25a + 5b + c) = 81c + 9b + a$である。

これを整理すると、

$75a + 15b + 3c = 81c + 9b + a$

$74a + 6b = 78c$

$37a + 3b = 39c$

$3b = 39c - 37a$

$b = 13c - \frac{37}{3}a$

ここで、$a, b, c$は5進法で表された数字であるから、$0 \le a, b, c \le 4$を満たす整数である。同様に、$a,b,c$は9進法で表された数字でもあるので、$0 \le a,b,c \le 8$を満たす。

$a, b, c$の範囲は、$0 \le a, b, c \le 4$と制限される。

$37a + 3b = 39c$より、$37a \le 39c \le 39 \times 4 = 156$なので、$a \le \frac{156}{37} \approx 4.2$より、$a \le 4$である。

また、$c \ge \frac{37}{39}a$なので、$a$がある程度大きいと、$c$が整数にならない。

$3b = 39c - 37a$なので、$39c - 37a$は3の倍数でなければならない。

$a=1$のとき、$39c - 37$が3の倍数になるのは、$c=1,4$。

$c=1$のとき、$3b = 39 - 37 = 2$となり、$b$が整数にならないので不適。

$c=4$のとき、$3b = 39 \times 4 - 37 = 156 - 37 = 119$となり、$b$が整数にならないので不適。

$a=2$のとき、$39c - 74$が3の倍数になるのは、$c=2$。

$c=2$のとき、$3b = 39 \times 2 - 37 \times 2 = 78 - 74 = 4$となり、$b$が整数にならないので不適。

$a=3$のとき、$39c - 111$が3の倍数になるのは、$c=3$。

$c=3$のとき、$3b = 39 \times 3 - 37 \times 3 = 117 - 111 = 6$なので、$b=2$となる。

このとき、$abc_{(5)} = 323_{(5)}$である。これを10進法で表すと、$25 \times 3 + 5 \times 2 + 3 = 75 + 10 + 3 = 88$。

$3 \times 88 = 264$。

$cba_{(9)} = 323_{(9)}$である。これを10進法で表すと、$81 \times 3 + 9 \times 2 + 3 = 243 + 18 + 3 = 264$。

これは条件を満たす。

$a=4$のとき、$39c - 148$が3の倍数になるのは、$c$は存在しない。

したがって、$a=3$, $b=2$, $c=3$である。求める整数は88。

3. 最終的な答え

88