7進法で表された循環小数 $0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ を5進法の小数で表す問題です。

1. 問題の内容

7進法で表された循環小数 $0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ を5進法の小数で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、7進法の循環小数 $0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ を10進法に変換します。

$x = 0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ とすると、

$100_{(7)}x = 35.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$

ここで、$100_{(7)} = 1 \times 7^2 = 49$ なので、

$49x = 3 \times 7^1 + 5 \times 7^0 + x$

$49x = 21 + 5 + x$

$48x = 26$

$x = \frac{26}{48} = \frac{13}{24}$

したがって、$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)} = \frac{13}{24}$ です。

次に、$\frac{13}{24}$ を5進法の小数で表します。

まず、$\frac{13}{24} = \sum_{i=1}^\infty a_i 5^{-i}$ と表せると仮定します。ここで、$0 \le a_i \le 4$ です。

$\frac{13}{24} \times 5 = \frac{65}{24} = 2 + \frac{17}{24}$ より、$a_1 = 2$

$\frac{17}{24} \times 5 = \frac{85}{24} = 3 + \frac{13}{24}$ より、$a_2 = 3$

$\frac{13}{24} \times 5 = \frac{65}{24} = 2 + \frac{17}{24}$ より、$a_3 = 2$

$\frac{17}{24} \times 5 = \frac{85}{24} = 3 + \frac{13}{24}$ より、$a_4 = 3$

このように、$a_i$ は 2 と 3 が交互に現れます。

したがって、$\frac{13}{24} = 0.\dot{2}\dot{3}_{(5)}$ です。

3. 最終的な答え

$0.\dot{2}\dot{3}_{(5)}$